数学阅读精粹的读书笔记（读书笔记奇妙数学史）

读后感：

一个下午加昨天两口气读完了《奇妙数学史》。这本是我认真读了且读懂了的少数数学书。数学概念的定义与解释非常有趣且逻辑完备。一点点地培养数学思想。

书中摘记：

自联合全球所有有志之士的GIMPS项目启动之后（见第178页方框），已知的梅森素数中近1/3在这个项目中被新发现。最近一次的突破性工作发生在2016年

GIMPS

互联网梅森素数大搜索，简称为GIMPS，是数学界最大的公共项目之一。确定一个自然数为素数需要大量艰巨的计算，而GIMPS项目使得任何一位数学爱好者可以下载素数筛选程序软件到个人计算机中，以寻找新的梅森素数。计算机启动后，该软件将在后台运行，并把计算结果回馈给主机。自1996年开始，迄今已有150000位成员、超过100万台计算机参与这一国际合作项目。到目前为止，已发现的49个梅森素数中有15个是通过GIMPS项目找到的。

梅森素数一直受到人们的关注的原因有两个：第一，它们是由已知的素数计算得到的，便于考查；第二，梅森素数公式为我们发现另一类神奇数字提供了可能。

梅森可谓世界上交友最广泛的数学家，他与欧洲许多杰出的智者有着频繁的联系。

人们容易把一个较大的合数当成素数。根据定义，要说明一个数是素数，需要验证所有小于这个数的素数均不是其因子。

素数通用公式？上段提到的公式：2p-1=另一个素数，是否适用于所有的素数呢？曾经人们也相信了很多年。其实上述公式并不能生成所有的素数。Mp=2p−1早期错判。

有一类素数能够通过一个简洁的公式用其他更小的素数表达出来，这些素数称为梅森素数。

数字化革命

香农的工作表明数字信号不光更易于处理，而且，因为它们只是简单的数字字符串，所以它们携带的信息能被各种媒介压缩、传输和存储。

在1937年，年仅21岁的他发表了其硕士论文，内容是布尔代数（见第137页）如何可以被用来设计一台基于二进制计数的物理“逻辑机器”。

其中设计的指令和规则使计算机处理一定的输入就得到人们期望的输出。

信息论

美国国家航空航天局著名科学家和科普作家卡尔·萨根概括说，如果能在一张纸上写下1古戈尔普勒克斯这个大数，那么，这张纸将大得无法存在于我们的可观测宇宙中。1立方米空间中所有可能的量子态总数也不到1古戈尔普勒克斯。事实上，1立方米（近乎一位成人身体的体积）空间里原子有101070种不同的排列方式。这意味着，如果一个人行进101070米，他必然遇见了1立方米空间中所有的微观粒子（或空旷的空间）。继续前行，他将重复看见遇见过的粒子。在他走完1古戈尔普勒克斯米之前，他将重复这种现象许多许多次。不过，萨根也提到：“1古戈尔和1古戈尔普勒克斯离无穷大仍然很远，亦如自然数1。”

有名字的最大数

1古戈尔普勒克新（googolplexian）等于10的古戈尔普勒克斯次方，也就是1后面跟着古戈尔普勒克斯多个零。这个大数是迄今有名字的数中最大的一个。那么，接下来，我们该如何命名10googolplexian呢？

后来，卡斯纳定义1古戈尔普勒克斯为一个巨大的数：1后面跟着古戈尔个零。

超脱自然

1古戈尔表示1后面跟100个零，一个我们几乎无法想象的数，比我们迄今为止讨论的数大上万亿个数量级。这个数过于巨大，很难与自然界的某种事物建立对应关系，以使我们增进对世界的了解。科学家估计宇宙中亚原子颗粒的数目大概是1080，而这个数相较于1古戈尔仍是相形见绌，不足一提。但是，如果有足够的耐心和足够大的草稿纸，人们还是能够把这个数完完全全写下来的。

数学的神奇之处包括它能处理的数可以远远大于我们实际遇到的。这也是美国数学家爱德华·卡斯纳在考查了一些超大数之后大感兴趣的。这位数学家留世的发现之一得来其实纯属偶然。

谷歌公司名字的由来

20世纪90年代中叶的一天，两位斯坦福大学数学专业的研究生谢尔盖·布林和拉里·佩奇正为给刚成立的网络公司起名发愁。一位朋友建议公司就命名为大数古戈尔（googol），但是，没想到的是，这位朋友把词拼写错了，写成了google。布林和佩奇觉得那就将错就错吧。于是，1998年9月4日，两人用Google的名字注册成立了一家公司，从而开启了网络搜索新时代。位于圣弗朗西斯科的公司总部被命名为Googleplex。

数学上用完全不同的方法处理大数。我们可以从庞大的事物中抽取样本作子集，计算子集的基数，用此基数乘以子集的个数就估算出整体的数量。再利用科学记数法，把难于书写的大数用乘方的形式表达

展示集合之间运算的韦氏图可以设计得很优美。在下面的3个彩色韦氏图中，读者能数清楚各个交集吗？我们在左下方的韦氏图中标注出了所有集合与交集，以供读者参阅。

之后，天才的艾伦·图灵提出一个设想：能否发明一台万能机器，通过某种一般的机械步骤，能在原则上一个接一个地解决所有数学问题。最终这个设想没有实现，但是，成就了数字计算机的诞生

仙境中的集合《爱丽丝漫游奇境记》是英国作家刘易斯·卡罗尔在19世纪六七十年代所著的童话故事。卡罗尔的原名叫查尔斯·道奇森，也是一位数学家。整个故事充斥着数学思想，如爱丽丝行走的道路可以作只改变尺寸不改变形状的相似变换。爱丽丝遇见鸽子那段故事可以用集合论来诠释。鸽子指责爱丽丝是一条蛇，想吃她的蛋。鸽子从来没有见过小女孩，它认为它树上所有的东西都是蛇。两者讨论了蛇、食蛋动物和小女孩的特征。爱丽丝坚持说一些蛇会吃蛋，一些小女孩也会吃蛋，但是，没有哪个小女孩会是蛇，它们是不同的两个集合类。鸽子表示不同意，它们认为所有的蛇和食蛋者都是一类的，小女孩作为食蛋者是蛇集合中的一个子集。迪士尼版的《爱丽丝漫游奇境记》中，三月兔向疯帽匠讨要半杯茶，结果疯帽匠居然把茶杯一分为二后递给三月兔。

罗素利用这个理发师悖论说明集合论是自我指涉的。也就是说，它用自身作为元素定义自己，进而引发出自我否定的结论。人们对数的研究是建立在集合论之上的，因此，如果集合论被质疑，整个数学王国将彻底倾塌。

悖论是一种表面上同时隐含着两个对立结论的命题或推理，而这两个结论都能自圆其说。最有名的悖论之一是说谎者悖论，它来源于公元前6世纪的哲学家古希腊的克里特人埃庇米尼得斯说的一句话：“所有克里特人都是说谎者。”因为他自己就是克里特人，所以，我们只能认为他自己也是一个说谎者，因此，不是所有克里特人都说谎。如果埃庇米尼得斯正是说实话的人之一，那么，所有克里特人都该是说谎者，包括他自己，如他的话陈述的，这样，这些推理就进入了一个无休止的死循环。这句话是一个悖论，因其是自我指涉的，一个克里特人谈所有克里特人，在说到自己时否定了自己，它的断言总是与自身矛盾。这些悖论听起来如有趣的谜题，但是当这些自我指涉的推理运用于数学上时，整个数学体系的准确与合理性受到了质疑。

如上面的购物问题中，我们可以把杂货店中所有待售物品作为元素构造全集。数学上，全集可以包含任何考查的对象，包括它自己本身。这种一个集合可以以自身为元素的设定导致了数学史上最有趣悖论之一的产生。而现在，我们应该明了集合论是如何完善化以弥补这个漏洞的。

一个集合就像一个容器，可以“装下”任何事物，比如刚刚从商场购得的物品。

数学家们针对集合概念揭示了一些逻辑悖论，并提出完善和修正方案。完善之后的体系最终引发了计算机革命，进而改变了整个世界。

把现实世界中的事物或数据按类分成不同的集合，是一种简化问题、便于相互比较分析的手段。然而，这种看似简单的操作在20世纪之初让数学陷入了一场危机。最终，集合论的严格化和完善化才化解了这场危机。

现代物理也发现原子并不是最微小的物质，不过，同时也发现时空均有下限，不能任意细分。当然，数学和数字可以超脱于真实世界之外存在，并没有数字“原子”不能被细分。事实上，任何数，无论多小，都可以被减半。

“超越”的意思就是“游离于……之外”

下一个问题是，这个数是不是某一类数的代表？

如果你认为数字王国是个有序的世界，那么你错了。大多数数字是无序的，它们形成了数字王国中无法被估算的旋涡。

数学家们一直在探索数字王国中的新事物。19世纪70年代，他们发现有一些数游离于数学常规之外。数学家们喜欢把数按照某个规则或性质划分成不同的类或集合。这种方式便于他们理解数之间的关联，比如哪些性质是所有数的共性，而哪些只是部分数才有的性质。超越数是存在于我们能够想象到的各种类型之外的夹缝中的数。部分超越数，如e和π，是我们所熟知的，但是，我们还未曾见到绝大多数的超越数，亦不可能见到。

按13取模把所有正整数分成13个类。

同样的，由模1运算可以得到整数集合。因此，所有整数按1取模后同余也许这个结果并不令人多么震惊，但是它用简单的形式很好地诠释了取模运算的过程。

任何一个偶数按2取模后余0。

取模运算

是时候对数进行划分，以解决数学问题了。一个简单的划分技巧能把大数都转化成小很多且简单很多的数。取模运算正是运用这一技巧把所有的数字都划分成不同的类。

谷歌公司由几位数学家创建。（数学家能成立公司创业，这也是数学课堂上老师教育学生勤奋努力学习的范例之一。）2004年，谷歌公司公开上市开始出售股票，首笔的报价为2 718 281 828美元——也就是说，e×10亿美元。

何时一个字母不再仅是一个字母？当这个字母是一个数字的时候。作为字母表中的第五个字母，e也是数学里最神秘的数字之一。当人们用数学去描述自然现象，他们发现最终结果常常含有这个神奇的数e。这是为什么呢？

但是，二进制运算下人们只需要做4种和式：02 02=02，02 12=12，12 12=102和12 12 12=112。而十进制运算中，我们需要处理几十种和式。因此，设计一台加法机器的话，用二进制编程是最为简便的。当然，代价是需要进行大量的子运算，而这些繁杂的工作机器会帮我们完成。这种机器就是数字计算机。

测量其实就是把一个对象的特性数字化——然后数学才能粉墨登场。测量使得人们可以比较不同的事物。而在做这些之前，人们首先需要统一单位。

历史上有不少“白痴天才”的故事，他们普遍智能低下，却有着非凡的技能，如能进行不可思议的复杂心算。其中一位为人们熟知的天才叫杰迪戴亚·巴克斯顿，他生活在18世纪的英国。据说巴克斯顿不会读写，知识面也很窄。他没有上过正规的数学课，但是他能把看见的任何事物都数字化。他去为一个地主丈量田地面积，不用任何工具而光靠在田地中行走就得到了以平方英寸为单位的结果。他还能把田地分割成毛发宽度（1英寸的1/48， 1英寸=2.54厘米）。巴克斯顿能处理数百位的数字，并且他还自己发明了一些数字，如“tribe”（部落）表示100万的立方，即1018，以及“cramp”（抽筋）表示1000个“tribesoftribes”，即1039。

有了制表机，原来预计10年完成的工作6周就结束了！

微积分是研究持续变换现象的一种数学方法

速率是一个标量，只有大小，没有方向性，而速度是一个向量，是有方向性的

只能对行数和列数都相同的矩阵进行加法或减法运算。对于矩阵间的乘法，左乘矩阵的列数必须等于右乘矩阵的行数，才能进行运算。

“matrix”（矩阵）和“vector”（向量）是活跃在影视剧中的两个炫酷词汇（其中有部分影片很酷），而它们均是数学专用词汇。一个矩阵其实就是由一些数排列成的阵列，从画图到运转全球搜索引擎都用到了矩阵。

5个简单的运算符号足以令你开启数学之旅

数学运算符号对于简化数学表述形式非常重要，我们几乎无法想象在计算中缺了它们会怎样。但是，在数学史的千百年里，数学运算符号其实是一个相当新近的发明。

四元数

德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯用复数做了大量工作（命名复数也是他的主意）。1831年，他把它们描绘为“影中之影”，他发现i仅仅是诸多复数单位中最简单的。1843年，威廉·罗恩·汉密尔顿揭示了复数仅是四元数的一个子集。四元数是四维的，使用单位j、k、1和i。这是一套非常复杂的数学体系，并非设定虚数在另一坐标轴，而是先将它们展成一个平面，接着是三维立体，再接着是四维的“域”。汉密尔顿在都柏林散步时悟出了这个，唯恐忘记，就把他的公式刻在了石桥上！

最初，这种做数学的方法似乎荒诞不经，但最终大有妙用。

数学越来越奇怪啦。何时数不是数？就是在虚数中呀。假如把虚数与现实中切切实实存在的实数结合起来，那又如何呢？

海螺壳越长越宽。据说它也是按照斐波那契数列生长的，但是增长的比例小了些——尽管如此，依然美不胜收。

斐波那契数这个数列里的数叫作斐波那契数（Fn）。数列是无穷的，但是并非算术数列，因为斐波那契数之间的间距是不同的；也非几何数列，因为间距不是常数的倍数。那么，我们如何计算斐波那契数呢？下一个数必为之前两数之和

数学养兔斐波那契数列阐述了兔群数量的增长规律。斐波那契指定了兔子繁殖的一套规律，但是我们没法用它来管理农场——现实中兔子可不是这么繁殖的。

斐波那契数列：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181, 6765, 10 946, 17 711,28 657, 46 368, 75 025, 121393, 196 418, 317 811......

阶乘一般用来表示一串数字（或者其他东西）有多少种排列。比如，如果你有5种不同颜色的筹码，就有120种摆放方式。

负数次方对数量级尤其有用。十亿分之一就是1×10-9，而皮秒就是1×10-12秒——也就是万亿分之一秒

达·芬奇对黄金比例很感兴趣，他尝试用它去拟合人体，然而，他发现得拉伸身体的某部分（通常是躯干）或者缩短某部分（腿）才能办到（译者注：不同的人体形会有差别）。

在黄金比例中，数学与艺术交汇。许多人说发现数学的过程很美，而黄金比例展示了美如何成其为数学。

玛雅数字在表示大数时很有效率，可以应用于他们复杂的历法，比如玛雅数字的9999相当于现代数字的75 789。

点点杠杠纪念碑上的玛雅数字，圆点代表1，横杠代表5，贝壳代表0（更多内容参见第34页）。日常的数学运算都是用这些点点杠杠完成的，它们用各种模式排布起来表示数量。这种数字的表示方式简洁至极、无可改进，点点杠杠简单地排列在一起，每5个点进位成一横杠，每4个横杠进位成20，于是在贝壳符号上方加个圆点来表示。这套系统这么简单，即使是很大的数字的加法都可直接计算，不费思量。

网球中的零分写成“love”——色即是空

零，或许是数学史上最伟大的发现——或许是发明？一片虚空无人见，如此而已。将零作为标示空无的术语，用于计数，此乃数学界翻天覆地之举。在数学界有经天纬地之举者，必当名垂青史。然而，零的发现并非一人之力。千年以来，不同想法，形形色色，汇聚一处，或有遗忘。这些想法始于公元前700年的巴比伦，但是我们追寻整个故事，还能上溯更远。

但是，分数究竟本身就是个真真正正的数呢，抑或不过是两个整数的比值而已？比方说，1/2是一个数，还是1除以2的答案？事实上，二者皆然。二者都能帮助我们了解各种各样的数。

罗马数字转为现代数字：DLXXVI=D L X X V I=500 50 10 10 5 1=576

罗马数字做加法：XVI CLII(16 152)=X V I C L I I=10 5 1 100 50 1 1=168

罗马数字做乘法：XX×VI(20×6)=(X×V) (X×V) (X×I) (X×I)=L L X X=CXX=120

罗马数字做乘法简单点的方法也有一个，跟我们当今用的乘法差不多，可是罗马人不用哦！方法是将一个数里的每个数位的值与另一个数的各数位的值相乘，然后把得到的一串数加到一起。罗马数字的数码只有7个值（1、5、10、50、100、500、1000），你只要记住一个含其中6个数码的六六乘法表（见第22页）就行了，但是这样做速度会慢一点。例如，XVI(16)×VII(7)就是(X×VII) (V×VII) (I×VII)，或者说LXX XXVVV VII。把它们都加起来就是LXXXXVVVVII，也就是LXXXXXXII，即CXII或者112。

中国竹筹计数最多画5条线来表示一个数。

大约2000年前，中国商人和数学家开始使用算盘。中国形制的算盘里，下部的算珠用来数1到5，上部的记录5的个数。

对于能手，算盘是强大的计算器。

罗马人用字母来书写数字。这套系统是五进制的。I代表1，V代表5，X代表10，L代表50，C代表100，D代表500，M代表1000。请注意IV代表“差1个到5”，也就是4。

空间紧张的时候，比方说刻在雕像或墓碑上，有些数字就用减法来简写：4就是IV，或者“比5少1”；9就是IX，40是XL。但是，写在纸面上时不采用这套减法系统：4就是IIII，9就是VIIII。这样便于用罗马数字做加法。事实上，这大概比我们如今使用的系统还简洁。罗马数字做加法，可以把两个符号合并起来，从大的开始写。所以CXXVII（127）  LVIII（58）求和成了CLXXVVIIIII。这个符号需要整合成大数。从尾端最小的数开始， IIIII变成V，这就构成了VVV，即XV，最终这数成了CLXXXV，或者说185。成功啦！罗马人知其然，只是不知其所以然。减法也挺简单，可以从小数开始划去，一直划到大数。所以，对于MDLI（1551）-MXI（1011），我们划掉M，保留D。我们再把L改写成XXXXX，划掉一个X，还剩XXXX，最后把I划掉，结果就是DXXXX或者说540。

巴比伦人既是天文学家，又是数学家。他们追踪太阳在天空的运动，指出每360天为一周期。这成为一年的长度。于是人们用360份或者360°来衡量圆周。太阳在白天的轨迹划分为12小时，夜间是另外12小时。（请注意现在这些数字都跟60有关。）一小时又分成60小份，或者说“分钟”。每分钟进一步分成60“次级分钟”，或者说“秒”。我们迄今仍沿用这套系统，它运转精良，如果没崩坏，就无须修正。圆周的一半是180°（3×60），整圆是360°（6×60）。使用这些数字是因为它们便于整除。表盘分成12个大区和60个小区，这些都源于巴比伦数学。

数字60可以被2、3、4、5、6、10、12、15、20和30整除！而数字10只能被2和5整除，因此，与十进制相比，用六十进制自有其好处。

对于4这个数，我们的大脑不用具体数也能立刻认出来。对于5以上的数，我们的大脑依然能快速数出来，不过是三三两两加起来的。

它们自然有现实世界中的用途，也是通往新世界的轮毂。这个世界不是由星星和黑洞组成的，而是数字以不可想象的方式连接而成的。其实我们也不好说“不可想象”，因为数学本身就是纯想象。数字世界只存在于脑海，而且无边无际。几百年来，数学家找到了无涯的数字之海的模式和联系，在本书中你可以领略些许。一旦学会用数字思考，你的数学世界将非常美妙。更妙的是，这也会反射到现实世界。换言之，数学是我们描写世界的语言。

《牛津通识读本：数学》

读后感：

不知道到底是数学思想更重要还是计算更重要

没有思想，数学学习就成了苦涩的修行，丢了本质

不学计算，考试就过不了

何以得兼？

书中摘记：

但如果你几年没有做数学，你就失去了数学的习惯，很难再重拾了。

是否能将他们的专长用于解决极其困难的问题，则在很大程度上决定于细致的规划：选取一些可能会结出丰硕成果的问题，知道什么时候应该放弃一条思路（相当困难的判断），能够先勾勒出论证问题的大框架继而再时不时地向里面填充细节。这就需要对数学有相当成熟的把握，这绝不与天赋相矛盾，但也并不总是会伴随着天赋。

上面所说的最后一条素质，从根本上要比惊人的大脑运转速度更加重要。数学中绝大多数影响深远的贡献是由“乌龟”们而不是“兔子”们做出的。随着数学家的成长，他们都会逐渐学会这个行当里的各种把戏，部分来自于其他数学家的工作，部分来自于自己对这个问题长时间的思考。

我并不了解究竟是什么因素促使他成功的，但他肯定需要非凡的勇气、坚定和耐心，对他人完成的艰难工作的广泛了解，在正确时间专攻正确领域的运气，以及杰出的战略性眼光。

当然，这些都是不可能的。因为我们不知道如何能站到宇宙之外——这种想法几乎在措辞上就是矛盾的——我们能够用的证据只能来自于宇宙之内。那么，什么样的证据有可能说服我们空间是弯曲的呢？

我们都知道线或面被弯曲是什么意思，但空间本身就是自在之物。即便我们能够在一定程度上对三维空间弯曲的概念赋予意义，与曲面的类比还是揭示出，我们自己不可能观察到空间是否弯曲，除非跳到第四维中去观察。在那里也许我们会发现宇宙是一个四维球体（我在第五章中解释过的概念）的表面，这个球面至少听起来是弯曲的。

我曾经说它作为模型是很有用处的。但是，既然我们所居住的实际空间是三维空间，高维几何究竟有什么用处呢？

讨论到现在，如果说有什么事情看起来很明显的话，那就是任何形状的维数总是一个整数。你要是说需要两个半坐标来确定一个点——即便是个数学的点，这会是什么意思呢？

通过分析许多类似的公司，你可能会确定出空间中的某个区域，认为购买此区域中的股票是不错的主意。

对数学来说，这个心理学要素的影响已远远超出几何学的范围。投身于数学研究所能得到的乐趣之一就是，随着专业领域的经验越来越丰富，你能够发现自己“仅仅观察”就能得到越来越多问题的答案，不一定非得是几何问题，而这些问题你以前可能要艰难思考上一两个小时。

当然，这远比三维的图像化要困难——比如，我无法直接回答，四维立方体旋转是什么样子，而三维的我就可以说出来——但是，这也明显要比五十三维的图像化要容易，要是它们都不可能的话也就谈不上谁比谁容易的问题了。有一些数学家专攻四维几何，他们四维空间图像化的能力得到了极大拓展。

于是我可以“仅仅观察”到，五维立方体又是由这样的两个四维立方体组成的，依旧是对应顶点相连，总共有32 32 16=80条边（每个四维立方体有32条边，其间有16条边连结它们），恰与我之前得到的答案相同。于是，我具有了某种初步地将四维和五维图像化的能力。（如果你对“图像化”这个词感到困扰，可以换一个词，比如“概念

高维几何又是一例最好从抽象角度来理解的概念。让我们不去担心二十六维空间的存在等等，而去考虑它的性质。你可能会疑惑：这东西连是否存在都不确定，怎么可

在不涉及无穷的情况下，我不去证明它的面积是12，而是满足于证明它的面积不是别的任何数。图形的面积是我所不能证伪的那个数。

Ar1移动图形，图形面积不变。（更正式的说法：两个全等的图形面积相等。）Ar2如果一个图形完全包含于另一个之内，那么第一个的面积不大于第二个。Ar3矩形的面积通过它的长宽相乘得到。Ar4将图形切成若干部分，则各部分面积之和等于原图形的面积。Ar5图形向各方向扩张为原来的2倍，则图形面积变为原来的4倍。

这又是抽象方法大有用处的一个例子。让我们不要关注面积是什么，而是关注面积能够做什么。

数学家经常谈论“在极限时”或者“在无穷时”的情况如何，但他们都很明白，他们并没有把这种说法完全当真。如果强迫他们说出确切意思，他们就会转而谈论近似。

在模型里，我们就有可能进行完全精确的计算

数学想要取得原创性进展：关注内部矛盾运动，关注外界生活实际(各门学科)向它提出的问题和需要

对于数学，不要问它是什么，而要问它能做什么

遇到难题时我们应该把它转换为多个较为简单的问题

术语解释（按拼音排序）半径　　　　　　圆的中心到圆周的距离。倍数　　　　　　一个整数能把另一个整数整除，则前者为后者的倍数。比率，比　　　　 一个数相对于另一个数的数量级。常数　　　　　　公式中的不变量。π就是一个数学常数。乘法　　　　　　把一个数自加很多遍（即乘上某个倍数）的一种运算。运算所得的结果称为乘积。乘积　　　　　　一次乘法运算的结果。除法　　　　　　寻找一个数，使之乘以给定的数等于另一个数。剩余的部分就是余数。除法是乘法的逆运算。除数　　　　　　用来均分一个大数的数。等式　　　　　　一个数学表达式与另一个的相等关系。例如2x=3y。方根　　　　　　指数运算（求幂运算）时的底数，即方根自乘整数次后可以得到指数运算的结果。公式　　　　　　用于计算某特定数值的等式。弧　　　　　　　圆周的一部分。弧度　　　　　　部分圆周相对于半径的倍数，以之分割一个圆。基　　　　　　　集合中元素个数的度量。基数　　　　　　一种进制记数法中单位元的个数。几何（等比）级数　从第二项起，每一项与其前一项的比值恒为同一个常数的一种数列。计数　　　　　　通过做记号记录事物个数的一种简单过程。加法　　　　　　把数合

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