高三数学函数零点问题讲义（课堂实录函数零点）

函数零点，应该算是高考数学中最最热点的问题了吧？

是不是发现，数学卷中有很多的问题都能转化为零点问题了呢。

确实的，零点的实际背景太常见了！而且因为零点问题的难度，作为高考中具备选拔性的考题，确实是拿得出手的。

其实说的直白点，零点问题，肯定算是一个较难的问题了。

那么，零点问题到底怎么处理？零点问题的基本题型结构又是怎样呢？

虽然曾经写过一篇关于零点的推文“就是它，常常让咱不能自拔！——函数零点专题”，但今天仍想结合自己最近一轮复习的课例，向大家介绍一点零点的基础知识。

当然，现在没有涉及到导数哦。

零点区间判定

例题解读：

①零点存在性的判定，主要利用“存在性定理”：

②零点唯一性的处理，除了说明存在性之外，需再说明函数的单调性。

③零点近似值的处理，可以利用“二分法”逐步缩小零点所在的区间，直至满足近似条件。

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零点个数确定

例题解读：

函数零点个数的判断可以从三个角度入手：

①解方程角度：

由定义，函数y=f(x)的零点为方程f(x)=0的根。

②图像交点角度：

若方程f(x)=0不便于求解，可通过分离函数的方式，将方程变形为g(x)=φ(x)，转化为考查两函数图像交点问题处理。

③函数角度：

以上两种方式都有困难时，只能考虑使用零点的存在性定理进行判断求解。

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零点个数与参数范围

例题解读：

两种方法分别使用了“分离函数”与“分离参数”的方法。

“分离函数”的思路主要基于对于切线不等式的熟练掌握。

“分离参数”是解决“参数范围问题”的首先思路。

从变形的过程上来看，“分离函数”是“分离参数”过程中的一个环节。所以，在解题时，注意按两者出现的先后顺序去思考问题，更便于提高解决问题的速度和质量。

例题解读：

分段函数是函数的重要表现形式，也是传统函数考查的热点问题。

分段函数考查的重点一般为图像作法、分段函数单调性判断及应用，以及分段函数的值域问题。

要理解并掌握函数图像变换的基本知识和方法，如平移、伸缩、对称、翻折和绝对值函数的图像。

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复合函数零点

例题解读：

复合函数的零点及复合方程的求解，主要使用换元法。换元后要从外向内分层判断，先判断外层函数的零点，得到内层方程及零点满足的条件，并继续判断内层函数的零点。

注意换元后的新元范围的确定。外层函数零点是内层函数的函数值。

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零点之间的关系

例题解读：

零点之间的关系是零点问题的重要考查方向，一般可以从两个角度入手思考：

①图像特征上：可利用函数图像性质，如对称性、周期性等确定交点之间的关系；

②数量关系上：能够直接求解的，可以通过方程的特征寻求不同零点之间的关系，如韦达定理等。

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复杂函数的零点

例题解读：

由指、对数函数与其它函数经过加减乘除得到的函数，不同于一般的基本初等函数，难度一般较大。

对于同时含有指、对数的函数零点个数问题，一般可以从三个角度思考：

①考虑函数凹凸性：

两个凹凸性相反的函数图像交点个数，一般以两曲线相切时为分界点。因此，求公切线成为解决此种条件下交点个数的首要目标。

②变量结构统一化：

根据对数恒等式，可以实现指对、数之间的相互转化，如能达到含指、对数的部分统一化，再用换元法，可将原函数变成常见函数。

此种方法俗称“同构化”。

③零点存在性定理：

利用导数可以研究分析函数图像的特征，通过研究函数极值的正负关系及图像的连续性，可以确定零点个数。

在求导过程中，要尽可能使得对数lnx的系数为常数。

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二次函数的零点

例题解读：

二次函数是中学数学中最重要的函数之一。

作为研究零点的一个重要参考函数，二次函数的零点问题（又称“二次方程根的分布”问题），一直是零点考查的热点话题。要能根据“零点的存在性定理”理解二次方程根的分布问题处理的基本思路。

二次方程根的分布问题，处理时要遵循文字语言→图形语言➝符号语言之间的相互转换，可以说，其本质是考查对数学三大语言的理解和运用能力。

如果用上述方法处理时有障碍，可以考虑分离参数或分离函数后，转化为两图像的交点问题进行处理。或者能够直接通过因式分解求解的，可以考虑直接求根处理。

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