行列式求非齐次线性方程组 线性方程组到高维空间

线性代数的第一章就是行列式，从二阶行列式，三阶行列式到高阶行列式。求解二阶线性方程组的时候变量分母是相同的，等于系数交叉相乘再相减，分子也有类似规律可寻规则，而且这个规律可以从二阶推广到n阶并且可以用通式表达出来，大大简化了多元线性方程组的求解难度。

对于多元线性方程组中的每一个方程也可以看成是n-1维空间中的一个曲面，每一个未知数对应一维，而系数则可以看成高维向量在这一维下的分解类似傅立叶级数中各次谐波的系数，而元线性方程组的作用可以看做确定一个n维空间中的点坐标。

比如，二元一次方程确定一条直线，而两个二元一次方程就确定了二维空间上的一个点，三元一次方程可以表示为空间中的一个曲面，而三个三元一次方程组就确定了三维空间中的一个点。确定这个点的坐标就是求解对应的方程组，行列式可以协助我们快速确定这个点坐标。

所以讨论多元线性方程组的解的情况，就是在讨论高维空间这个点确定性的问题，二维空间确定点需要两个约束，三维空间中间需要三个约束，推广到n维空间呢，就需要n个约束。如果约束条件不够，那么就会出现无穷多解的情况，如果约束条件刚好，就是一个解的情况，如果约束条件多了就是无解的情况。

讨论解的情况就变成了讨论约束数与变量数的关系问题的，所以引出了矩阵。特别是秩概念的提出，将多元线性方程组的解问题转换为矩阵秩情况的讨论，矩阵本质上表达了多元变量是在高维空间的一组约束。

而高维空间的点也可以看称为一个向量，而如果高维空间的所有向量可以为一组向量线性表示，这组向量就是高维空间的基。基向量之间是无法线性表示的，也称线性无关，也可以由向量组构成矩阵的秩线性相关性来判定。同一高维空间可以有不同的基，同一向量对不同基有不同的坐标，通过基变换可以灵活转换。