数学高中知识重点讲解基本不等式（基本不等式知识点总结）

一 命题趋势

基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误．

二 知识网络

三 数学思想在不等式问题中的体现

1、分类讨论思想

例1.已知不等式

，（1）求该不等式中x的集合；（2）若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值范围。

解：（1）

当k>1时，解集为

当

时，解集为

当k<1时，解集为

（2）

所以

小结：当一次项系数为0时，不等式成为两个常数比较大小的形式，与x取值无关。

因此，不等式的解集为R（不等式成立时）或（不等式不成立时）。

2、转化与化归思想

例2.已知a，b，c为正整数，且

，求

的值。

解：因为不等式两边均为正整数，所以不等式与不等式

等价，这个等价不等式又可转化为

。

∴

∴

即a=2，b=3，c=6

小结：将等式与不等式对应等价转化，是转化数学问题的常用且非常有效的手段。

3、换元思想

例3.解不等式

解：若令

则

∵

，且

∴

∴不等式化为

即

∴

解得

从而

即

∴不等式的解集是

4、数形结合思想

例4.设a<0为常数，解不等式

。

解：不等式转化为

令函数

和

其图象如图所示

由

解得

（舍去）

∴两个函数图象的交点为

由图知，当

时，函数

的图象位于函数

的图象的上方

∴不等式的解集是

小结：在不等式的求解过程中，换元法和图象法是常用的技巧。

通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的不等式或基本不等式，

通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观、形象的图象关系。

对含有参数的不等式，运用图象法，还可以使得分类标准更加明晰。

5、方程思想

例5. 已知

，求证

分析：结论可以转化为

，恰好是一元二次方程有实根的必要条件。

解：由已知可化为

，这表明二次方程

有实根

，从而需要判别式

，即

成立。

6、构造思想

例6. 解不等式

分析：本题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做，运算较繁杂。

但注意到

，且题中出现

，

启示我们构造函数去投石问路。

解：将原不等式化为

令

则不等式等价于

∵在R上为增函数

∴原不等式等价于

解得

7、整体思想

例7.已知

，且，求

的范围。

解：令

可得

∴

又

可解得

小结：题中

，且是四个整体，在解题过程中，整体谋划，不能破坏其固有的整体结构。

四 典型例题精选

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题型一 对公式的简单运用

▼

题型二：条件最值问题

【小结】条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．

▼

【小结】看好形式上的特点，分子分母同时除以自变量x，或通过其他变形出现基本不等式的可用情况，如积为定值的形式．需要注意的是等号成立的条件，如果不成立，则需转化为对勾函数的知识，运用求导并结合其图像解题．

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题型四 多变量综合

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题型五 利用基本不等式证明

【小结】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点．

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题型六 基本不等式应用题

【小结】此题主要考察学生对直角三角形边角关系的应用，第二问还考察学生对两角差的正切公式和基本不等式的熟练运用，第一问属于简单题，第二问属于中等题．

以实际问题为背景的解题步骤：

(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．

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总结

使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．基本不等式问题经常以函数为依托，重点考查基本不等式的应用，充分体现了数学学科知识间的内在联系，能较好的考查学生对基本知识的识记能力和灵活运用能力．其解题的关键是对已知函数进行适当的变形，以满足基本不等式应用的条件．

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