几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)

逆等线、最值问题 (近几年中考比较流行此类题目)

等腰△ABC中,E、F分别是腰AB、AC上的动点,且AE=CF,即逆向相等,则EF称为等腰△ABC的逆等线。一般情况下题目中有两个没有首尾相连的线段相等,也归为逆等线问题。

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(1)

由于AE与CF没有首尾相连,所以一般通过平移、构造全等三角形等方法转移线段,使它们产生联系。

这个例题是最常见的逆等线求最值的问题

固定的△ABC中,D、E分别是AB、AC上的动点,且AD=CE,求BE CD的最小值。

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(2)

如图,通过构造全等三角形,△CEF≌△ADC,使D、E双动点转化成单动点,BE CD转化成BE EF,最小值就是定点B、F间的距离。具体题目中会给出一些特殊角度,便于计算BF的长度,最常见的是等边三角形,直角三角形。

下面是练习题,构造方法非常多,解析仅供参考。

①如图△ABC,AB=AC,∠BAC=90°,E、F分别在AB、AC上,且AE=CF,AD⊥EF交BC于D,求证EF=AD。

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(3)

②等边△ABC的边长是6,E、F是AB、AC边上的动点,且AE=CF,求EF的最小值。

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(4)

③如图△ABC,∠ABC=60°,点D、E分别在BC、AC上,且AE=CD,若AB=4,AC=5,求AD BE的最小值。

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(5)

④如图△ABC,∠BAC=90°,点D、E是BC边上的动点,且BD=CE,若BC=5,求AD AE的最小值。

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(6)

⑤如图,矩形ABCD,AB=3,AD=4,点E、F分别是线段AC、BC上的动点,且AE=CF,求DE DF的最小值。

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(7)

⑥如图,矩形ABCD,AB=2,AD=1,G是AB中点,E、F分别是AD、CD边上的动点,且CF=2AE,求GF 2BE的最小值。

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(8)

需要PDF打印版可以找刘老师(shenyangmath)领取。

以下是练习题的答案与解析,解题方法多种多样,仅供大家参考。

①答案:简证如下

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(9)

把EA平移到FG,连接CG、AG,则四边形AEFG是平行四边形,AG=EF。△FCG是等腰直角三角形,∠ACG=45°。

因为∠CAG=∠BAD,AB=AC,∠ACG=45°=∠B,所以△ACG≌△ABD(ASA),AG=AD,所以EF=AD。

②答案:3

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(10)

利用条件AE=CF,构造△CDF≌AFE。

如图,过C作CD∥AB,且CD=AF,则∠DCF=∠FAE,△CDF≌△AFE(SAS),所以DF=EF。

易知四边形BCDE是平行四边形,所以DE=BC=6。

EF DF=2EF≥DE,当EFD三点共线时取等号(此时EF∥BC)。所以EF的最小值是3。

③答案:√61

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(11)

利用AE=CD,构造△AEF≌CDA,把AD转移到EF,则与BE相连。

过点A作AF∥BC,且AF=AD。则∠EAF=∠C,所以△AEF≌△CDA(SAS),所以AF=AC=5。

转化成BE EF的最小值,且B、F都是定点,BE EF≥BF

接下来求出BF即可。延长FA,过B作BG⊥FA于点G,则∠ABG=30°,AG=2,GF=7,BG=2√3。

BF²=BG² GF²=12 49=61,所以BF=√61,即AD BE的最小值是√61。

④答案:5

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(12)

利用BD=CE,构造△BDF≌CEA,把AE转移到DF,则与AD相连。

过B作BF∥AC,BF=AC,则∠DBF∠C,所以△BDF≌△CEA(SAS),所以BF=AC,DF=AE。

AD AE=AD DF≥AF。

接下来求出AF即可。易知△ABF≌△BAC(SAS),所以AF=BC=5,即AD AE的最小值是5。

⑤答案:√985 / 5

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(13)

利用AE=CF,构造△AGE≌CDF,把DF转移到EG,则与DE相连。

过点A作AG⊥AC,且AG=CD。则△AGE≌△CDF(SAS),所以AG=CD=3。

转化成DE EG的最小值,且G是定点,DE EG≥DG

接下来求出DG即可。延长DA,过G作GH⊥DA于点H,则△GAH∽△ACD(一线三垂直),AC=5,容易求出AH=9/5,GH=12/5,所以DH=29/5,直角△DHG中根据勾股定理求出DG=√985 / 5。

⑥答案:√26

几何辅助线和几何模型(逆等线几何模型)(14)

此题给的是线段的2倍关系,不能构造全等,但是可以构造相似。

利用CF=2AE,构造△CHF∽△ABE,把2BE转移到FH,则与GF相连。

延长BC至H,使CH=2AB,则△CHF∽△ABE,所以FH=2BE。

GF 2BE≥GH。

接下来求出GH即可。GB=1,BH=BC CH=1 4=5,根据勾股定理可得GH=√26。

♡♡♡感谢大家的支持♡♡♡

,

免责声明:本文仅代表文章作者的个人观点,与本站无关。其原创性、真实性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容文字的真实性、完整性和原创性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并自行核实相关内容。文章投诉邮箱:anhduc.ph@yahoo.com

    分享
    投诉
    首页