绝对值不等式用平方来解(从不等式说到比例与实数)

作者 | 刘瑞祥

为什么会有不等式这种东西?有人会从哲学上说“相等是相对的,不等是绝对的”,但这不是我今天要说的问题。不等式是和实数的“三歧性公理”密切相关的。这条公理是说,对于任意两个实数a、b,有且只有a>b、a=b、a<b之一。这是所谓实数“序结构”公理之一,而按照布尔巴基学派的观点,数学就是研究结构的学科。

但这有什么用呢?一个比较容易看出的用处是,如果我们直接证明a=b困难,那不妨证明a>b不可能,然后再证明a<b也不可能(往往一句“同理可证”就行了),就能得到结论了。而在古希腊,这种方法频繁地用于所谓“穷竭法”中,以此来推出圆面积、棱锥和球的体积公式。这在《几何原本》里有详细的论述。

《几何原本》里用到三歧性公理的还有比例定义,据说这是欧多克斯所给出的:

有四个量,第一量比第二量与第三量比第四量叫做相同比,如果对第一与第三个量取任何同倍数,又对第二与第四个量取任何同倍数,而第一与第二倍量之间依次有大于、等于或小于的关系,那么第三与第四倍量之间便有相应的关系。

即:设a、b是同类的两个量,c、d也是同类的两个量,对任何的正整数m与n,若三个关系式ma>nb、ma=nb、ma<nb之一成立,必有mc>nd、mc=nd、mc<nd中对应的那个成立,则称a、b、c、d成比例。

这个定义所以如此繁琐,是因为要避开“无理量”运算。以 为例,说它和另外一个量加减很容易,只要在线段上顺次或者反向截取就行,让它乘以另外一个量则只要给出一个面积就行,让它除以一个整数的话需要等分,也完全能作到。但是要让无理量作除数可就麻烦大了:你怎么证明 除以 等于 除以2?这需要有严密的理论,在古希腊就用前面的比例定义结合由此推出来的定理进行计算。

话说到这里,我想起了我高中时想到的一个问题:比如指数函数y=2x,当x为整数时(不论正负)没有问题,可以得到一个精确的结果,取分数可以看作开方,但是书里给的图像是一条连续的曲线(自然,那时我还没有听说过“连续”这个词),而且定义域也是全体实数。所以一个显而易见的疑惑是,如果x取无理数怎么办?我的小脑袋当然不可能对这个问题有太深刻的思索,但我当时已经想到,是不是可以这样:以x=3.14159……为例,可以先让x=3,然后再让x等于3.1、3.14、3.141……,大概就会慢慢接近于真正的结果了。

类似的问题反复出现。比如某个非常数的函数f(x)满足f(a b)=f(a)f(b),当时老师给出的问题是求f(0),方法是令a和b之一为0,但是我进一步想到这不就是指数函数吗?但是怎么证明呢?对于自变量取有理数的情况很好处理,可自变量取无理数怎么办?还有比如一个三角形正投影到另外一个平面上,形成的新三角形面积和原来三角形的面积之比为cosθ(θ为原三角形所在平面与投影面的夹角),这个结论扩展为一般的多边形很容易,但能不能用这个关系推导出椭圆面积公式?这是因为当时我已经看过这个式子但没有过程,而且当时我也不会微积分。要用这里提到的投影方法推导椭圆面积,必须证明面积具有可加性。

绝对值不等式用平方来解(从不等式说到比例与实数)(1)

很多人赞颂过《几何原本》比例论的巧妙,但这个比例定义曾经困扰过许多欧洲数学家,使他们很长时间都不能接受负数:因为1:(-1)=(-1):1,大比小却等于小比大,这怎么可能呢?

下面回到《几何原本》。书中第五公理说到:“整体大于部分”,这是全书唯一一个关于不等关系的公理。但这一定是正确的吗?比如全体实数和某个区间内的实数孰多孰少?看,如果我们关心的不是“长度”而是“多少”,立马就不一样了。这涉及集合的“势”的概念。一个中学生可能天然地认为“实数比有理数多”的结论却不能接受“整数和有理数一样多”,尽管两者都是正确的,但即使对于前者其实也并无了解,也就是说,他和康托所认为的并不是一回事。

《几何原本》和不等式有关的另外一个比较重要的东西涉及到【X.1】,欧几里得用【V.定义4】——一个量的若干倍大于另一量,就说这两个量有一个比——来论述不可公度量(即今之无理数)的存在。而这个定义后来被阿基米德改造为一条公理,再以后被希尔伯特吸收在了他的《几何基础》里。

希望读者们能深入读一读《几何原本》和《几何基础》。

绝对值不等式用平方来解(从不等式说到比例与实数)(2)

绝对值不等式用平方来解(从不等式说到比例与实数)(3)

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