大题三角函数求最值的方法(第二百八十五夜)

说起应用题,曾经的江苏高考发挥到了极致。函数、导数、三角函数、基本不等式、立体几何、直线与圆等等,什么都能考,什么都能应用。全国卷在这方面要逊色不少,这就给许多人一个错觉——全国卷不考应用题。于是出现一种奇怪的现象——应用题不讲,但凡涉及到就直接绕过。

事实上,应用题在全国卷中从未缺席,现在它有了一个好听的名字,叫“数学文化”。我没去考证二者的区别,看到文字叙述多的都归为此类。像作文似的长篇大论令人晕头转向,尤其以概率统计为最。

2022届重庆八中高三下第6次月考的16题,这算不算应用题?按照教材的要求,这可视为“导数在生活中的优化”,理所当然是应用题。然而,这个概念对解题有关系吗?谁会在乎那些无关紧要的话?好像,是的。

不过不要忘了,如果是生活中的优化,那么函数往往只有唯一的极值,而这个唯一的极值就是最值。

大题三角函数求最值的方法(第二百八十五夜)(1)

大题三角函数求最值的方法(第二百八十五夜)(2)

大题三角函数求最值的方法(第二百八十五夜)(3)

应用题多了“翻译”这个步骤,将实际问题转化为数学问题,这就是“数学建模”。剩下的与普通题毫无二致,该怎么做还怎么做。对应用题而言,翻译无疑是最难的,这涉及到如何设元,如何建参,以及如何构建目标。一旦突破这关,下面便可势如破竹。

导数是解决函数的工具,所以无论什么时候,导数都应当作为首选。这道题并非无源之水,无本之木,而是2018年全国1卷第16题(见文末)的仿制,连函数都没变。

现在你明白真题的价值了吧。

大题三角函数求最值的方法(第二百八十五夜)(4)

法2和法3都是构造“三元均值不等式”,差别只是对象不同。将函数转化为求积的最大值,所以目标就是在均值不等式中构造和的定值。所谓构造,就是变形、凑项和凑系数。

注意取等的条件。应用题有个特点,就是极值点一般都是唯一的,所以小题中可以直接略过检验。

大题三角函数求最值的方法(第二百八十五夜)(5)

大题三角函数求最值的方法(第二百八十五夜)(6)

法4的构思极其精巧,在小题中堪称秒杀。这里用到了一个结论——圆内接三角形中,正三角形的面积最大。这个看似简单的结论,证明却并不容易。他需要用到均值不等式,还需要借助琴生不等式。

既然这样,不如直接使用琴生不等式来得痛快,这便是法5的思路。

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大题三角函数求最值的方法(第二百八十五夜)(8)

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