旋转三角形变换方法（重剑无锋大巧不工）

重剑无锋，大巧不工，靠旋转变换基本功解中心未定难题

旋转变换三要素，旋转中心、旋转角和旋转方向。其中旋转方向只有两个：顺时针或逆时针，而旋转中心和旋转角一般不可少，否则无从作出旋转图形。而恰恰有这么一道二次函数综合题，涉及到的旋转中，居然连旋转中心都不确定，这下子难倒了一片学生，图都作不出来，如何能解呢？

题目

如图，直线y=1/2x 2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-1/2x² bx c经过A，B两点，与x轴的另一交点为C。

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线AB上方抛物线上的点D，使得∠DBA=2∠BAC，求D点的坐标；

(3)M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，求点B1的坐标。

解析：

(1)传统启手式，求二次函数解析式，先根据直线解析式求得点A和点B坐标，分别为A(-4,0)和B(0,2)，分别代入即可求得b=-3/2，c=2，于是解析式为y=-1/2x²-3/2x 2；

(2)通常情况下，遇到一个角是另一个角两倍的条件，我们把较大角的角平分线作出来，或者将较小的角加倍，均能构造出等量关系。

方法一：作∠DBA的角平分线，与抛物线交于点E，如下图：

∠EBA=∠BAO，它们恰好是一对内错角，于是得到BE∥x轴，此时的BE，作为角平分线，还有另外一重身份，即∠DBA的对称轴，再换个说法，BD所在直线与直线AB关于BE轴对称。而直线AB解析式是已知的，于是可以迅速得到直线BD的解析式为y=-1/2x 2，没有学习过这种一次函数直线性质的同学，多费点功夫也行，过点D作BE和垂线，利用三角函数同样可得到直线BD的斜率k。

接下来，联立直线BD与抛物线即可求得点D坐标为(-2,3)；

方法二：作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'，如下图：

我们同样得到一对内错角，∠DBA=∠BAB'，于是BD∥AB'，而在Rt△AOB'中，直线AB'的斜率更容易求了，因此，得到它的解析式为y=-1/2x-2，从而得到直线BD的解析式为y=-1/2x 2，接下来的步骤与方法一相同，最后点D(-2,3)；

(3)几乎所有人在面对将△BOC绕点M逆时针旋转90°时，都感到无从下笔，因为点M为平面内一点，并不知道在哪里，思路就此陷入困境。

如何破解？还是要从旋转变换最基本的性质回想，既然是旋转90°，根据旋转前后图形的位置，可判断对应边之间的位置关系，OB原本是与y轴重合，逆时针旋转90°后，无论旋转中心在哪里，旋转后的O1B1一定与OB垂直，同理，另外两组对应边也与原边所在直线垂直。我们可以假定某一个点为旋转中心来验证，例如绕点B旋转，如下图：

经过观察，旋转后的O1B1∥x轴，而O1C1∥y轴，B1C1⊥BC，而且，任意点为旋转中心，均不改变上述位置关系。现在可以将旋转后的△O1B1C1任意放在平面内了，而它有两个顶点在抛物线上，怎么理解呢？我们知道抛物线上没有两点横坐标相同，于是首先排除O1和C1在抛物线上这种情况，剩下B1，C1和O1，B1两种情况如下图：

左图中，点B1和C1的坐标之间，横坐标相差2，纵坐标相差1，且它们均在直线y=1/2x 2上，于是设B1横坐标为m，则C1横坐标为m 2，分别代入抛物线解析式中求出纵坐标，B1纵坐标为-1/2m²-3/2m 2，C1纵坐标为-1/2(m 2)²-3/2(m 2) 2，它们相差1，得方程1/2m²-3/2m 2 1=-1/2(m 2)²-3/2(m 2) 2，解得m=-3，于是B1(-3,2)；

右图中，点B1和O1都在抛物线上，它们关于抛物线对称轴x=-3/2对称，且分别距离对称轴1个单位，因此点B1横坐标为-5/2，于是B1(-5/2,21/8)。

解题反思：

在武侠小说中，练武无不讲求根基牢固，一柄无锋重剑，在高手使来，仍是利器，看似平淡无奇的招式，蕴藏无穷威力。学习旋转变换的过程中，对旋转前后的数量关系研究较多，运用也较多，而对位置关系相对薄弱，本题恰恰选择的是特殊旋转角90°，因此必然会出现旋转前后对应边垂直的情况，对于垂直这种位置关系，如果没有垂足，则多数学生会感到“缺根筋”，而事实上，线段垂直，多是指它们所在直线垂直，在概念学习中如果忽视了这一点，难免在解本题时无所适从。因此，平时的课堂学习，尤其是概念学习，一定要理解透彻，不可满足表面现象，略懂=不懂。