微积分里关于无穷的公式（微积分解说无穷小和极限）

古代庄子 就说 ”一尺之棰，日取其半，万世不竭，”，这就是无穷小思想，一天取一半，等到了 1000天，就是 1/2 的 1000次方，已经非常小了，到了万世就更小了，庄周这是个哲学思想，没有具体应用于计算问题。

庄子

到了 刘徽 的 九章算术注 中，叙述通过用圆的内接正多边形 来计算 圆的面积 和 周长。里边说 ：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”（《九章算术》方田章圆田术刘徽注），就是说 用内接正多边形的周长来逼近圆的周长，多边形的边数越多，单条边越短，到了最后，趋于无穷小时，多边形的周长和 就和圆的一样了。

圆

在这里刘徽把无穷小的思想用于具体问题圆周长的计算了。

到了17世纪，牛顿在 自然哲学的数学原理 中解释天体运动的轨道的轨道时，又使用了无穷小思想。把这种思维发展成系统性的计算方法。人们一般认为这本著作标志着微积分的诞生。

万有引力公式

牛顿当时是 先知道 开普勒 的行星运动三大规律。 自己提出 物体运动的 三个定律 和万有引力定律，再用数学方法论证，行星在这样的规律下，就会形成开普勒所说的椭圆形轨道。牛顿是先有数据，再总结出规律。

牛顿第二定律

那我们现在 验算一下 牛顿 这个体系。

地球在 椭圆形的轨道上，围绕太阳运转，太阳位于椭圆的一个焦点上。

先计算地球受到太阳的引力。

根据万有引力定律公式，引力 等于 地球的质量 乘以 太阳的 质量，再乘以 万有引力 常数，再除以地球和 太阳之间的距离。

太阳系示意图

这里，在椭圆形轨道上，太阳和地球之间的距离在变化，下一个时间点和前一个时间点相比，地球受到的引力不一样，那每一个时间点，地球的加速度在变化，速度也在变化，而且 椭圆不是直线，现在的速度方向和加速度方向并不一致，先需要做力的向量分解，分解成两个垂直方向的才好计算。

考虑 稍微简单的情况，假设加速度是一个固定值，加速度和原来的速度在一个方向上。地球表面的自由落体运动 就是 这种运动方式。我们知道 自由落体 的 速度方程是 gt,位移方程是 1/2g 乘以 t 的平方。g 是地球表面的重力加速度，t是时间。

太空中受到的重力很小

现在再考虑地球轨道 这个情况，假设现在一个时间点，地球速度可以确定，地球受到的引力也可以确定，加速度也可以确定，但是现有速度和加速度的方向不一致，有夹角。那如何计算地球一分钟后运行到什么位置了？

如果这一分钟内的 地球受力 和加速度 都按 现在这个 时刻计算，肯定与实际不符，因为这一分钟内，地球和太阳之间的距离在不停变化，运动方向在变化，受力大小和方向也在不断变化，所以加速度的大小和方向也在不断变化。

按这一分钟开头和末尾的情况算加速度会得到不同的结果。

该如何突破这个问题?

现代的积分公式，以牛顿命名

还是缩小考虑的时间间隔，一分钟内按固定值算，时间隔得太长，误差太大。那就考虑 1/100，1/10000，1/1000000分钟的情况，

反正时间隔得越短，越接近真实情况，

那就考虑 时间间隔 趋向无穷小 ，看看是个什么结果。

最后就会发现 时间段 分割的无穷小时，会有一个固定的计算公式，无论按时间段开头算加速度，还是时间段结尾算加速度，结果都是同一个公式。

彗星轨道偏心率非常大

我们日常生活中，计算骑自行车多长时间到达目的地，不需要考虑无穷小，不需要考虑中间的速度变化，直接按平均速度就可以.

计算天体运动轨道，需要详细描述，中间的位移变化情况，所以无穷小思维是必不可少的。

微积分就是研究变化现象的数学工具。在微积分的眼里，所有的都是变化的，如果一个量是常量，那就是变化率为0，计算瞬时变化率，就需要无穷小思维。

自然界的许多现象，就是和变化联系在一起的，比如发电机发电，导线周围刚有磁场并不会有 感生电动势，只有磁场变化在变化，才会有感生电动势。感生电动势大小，是和磁场强度变化速度有关系，和磁场强度大小本身没有关系，磁场再强，大小不变，也不会有感生电动势。

风力发电机

比如要发射无线电波通信，刚有电场不会发射出电磁波，所以需要震荡电路，使电场不断变化才能发射出电磁波。

要计算和探究这些不停变化的现象，微积分和无穷小思想是必须的工具。