八下数学三角形的最值问题（灵机一动第129期）

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NO. 129

n的最小值

已知1 2 3 … n的和的个位数字为3，十位数为0，百位数字不为0。求n的最小值。

问题分析解答

方法一：

依题意，设百位数字是一个大于0的整数a，有

1 2 3 … n=n(n 1)/2=100a 3

得，n(n 1)=200a 6，即相邻两个自然数的积的个位数为6；易知满足条件的n的个位数只能是2或7，可设n=10x 2或10x 7，有

(10x 2)(10x 3)=200a 6 …… ①

或 (10x 7)(10x 8)=200 6 …… ②

由①整理得：2x² x=4a

只有当x为偶数，且最小为4时满足题意，则有n=42，a=9。

由②整理得：2x² 3x 1=4a

只有当x为奇数，且最小为3时满足题意，则有n=37，a=7。

综合可知n的最小值为37。

方法二：与方法一类似，可得到n(n 1)=200a 6

两边乘以4得：4n(n 1)=800a 24

配方得：(2n 1)²=800a 25

这是一个末两位数为25的平方数，显然2n 1的个位数5，可设 2n 1=10x 5，于是 (10x 5)²=800a 25。

整理得：8a=x(x 1)

可知x=7，a=7 最小，从而n的最小值为37。

其他解法可参考“题友解答精选”中题友的解答。

题友解答精选

◎题友 @大成至圣的解答：

根据题意要求可得n(n 1)应满足个位为6，十位为0，百位为除了0以外的偶数。进一步筛选n的个位只能是2或者7。当n个位为2时，假设n=10k 2,其中k为自然数，那么n(n 1)=50k(2k 1) 6，当k=4时满足条件，此时n=42；再来考虑n=10k 7的情况，n(n 1)=50(2k 1)(k 1) 6，当k=3满足条件，此时n=37。综上最小的n值为37。 ps:形如50x的十位为0，百位为除了0以外的偶数的数字要求x能被4整除且不能被20整除。

◎题友 @孤鸿的解答：

由题可得，此题是等差数列前n项和=（n*2 n）/2=Sn.则100<Sn<1000.得14<n<45.再者，要使Sn=?03.即（n*2 n）=?06.在所有数字中只有个位2和7的数字满足2×2 2=6、7×7 7=?6。所以满足的数字是17、22、27、32、37、42。n=17时，Sn=156，n=22时，Sn=253，.n=27时，Sn=378，.n=32时，Sn=543.，n=37时，Sn=703，.n=42时，Sn=903.所以n的最小值是37，最大值是42。

◎题友 @椒盐五花熊 的解答：

由于1 2=3，因此，只要找到最小的n使得3 4 ... n是100的倍数即可。这个和是（n 3）（n-2）/2，有意思的是，n 3和n-2正好相差5，这意味着只要其中一个是5的倍数，另一个一定也是5的倍数，直接满足了乘积是25的倍数，此时，只要它们的乘积同时还是8的倍数，就能满足条件了，由于这两个数必然一个是奇数，一个是偶数，因此，这个偶数必须是8的倍数，所以，这个偶数一定要是40的倍数，显然，0不满足白位数不是0的条件，大于0的最小的40的倍数，就是40本身，而最小的n，也就是40-3=37，经验算，1 2 ... 37=703，满足条件。

◎题友 @不机智 的解答：

前两位1 2=3，已经满足个位是3，十位是0，问题转化为从3开始最少加到几得到整百的数字，可见n的尾数不是7就是2，否则从3开始加无法得到整百。而3 4 5 6 7=25，8 9 10 11 12=50，13 14 15 16 17=75，18 19 20 21 22=100，可见尾数75的凑够4组、尾数0的凑够3组即凑成整百。即从3加到37凑成整百，n最小值为37。

本期答案整理：子曰 编辑：子曰

感谢各位题友的积极参与，下期再见！

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