最简单又最难几何题（一道简单几何题）

这是在今日头条上看到的简单几何题，老师说有多种解法。试着做了一下。

简单几何题

如图，设∠BAD=α，∠CAD=β，α β=45°，CD=x。先用三角函数的方法做一下。

tanα=2/6，tanβ=x/6，tan(α β)=tan45°=1。

又tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanαtanβ)

=(2/6 x/6)/(1-2x/36)=1，解得x=3。

非常简单，很快解出。

α β=45°。用三角函数方法证明。

再用几何方法做一下。

作CE⊥AB，则△ACE是等腰直角三角形，AC=√(6² x²)。另外△ABD∽CBE△，得到CE=6(2 x)/√40。AC=√2CE，列方程解出x=3。

作辅助线，用几何方法证明。

再来看老师的解法，一共给出四种。

第一种解法，作辅助线，构成一个正方形，然后用勾股定理列方程解出。

老师的第一种解法

第二种解法，向两边作一个大的等腰直角三角形，然后用勾股定理列方程解出。

这里涉及到一个知识点：△AEF是一个等腰直角三角形，∠BAC=45°，则EB² CF²=BC²。读者可以自己尝试证明一下。

老师的第二种解法

第三种解法，作两个小的等腰直角三角形，在等腰直角三角形旁边有两个相似三角形，用对应边成比例列方程解出。

老师的第三种解法

第四种解法，作底角为45°角的等腰梯形，然后利用相似三角形对应边成比例列方程解出。

老师的第四种解法

我给出的两种解法与老师的解法不一样，这是独立思考的正常结果，也是我想看到的结果。只有不一样，才能互相学习，共同进步。