不定积分的计算(如何理解不定积分的定义)

#创作挑战赛#

不定积分的定义总是伴随着原函数的定义的。想要理解不定积分的定义,就要理解原函数的定义及其重要定理。

不定积分的计算(如何理解不定积分的定义)(1)

定义1:设函数f与F在区间I上都有定义,若F’(x)=f(x), x∈I,则称F为f在区间I上的一个原函数.

注意,F只是f的一个原函数,说明有不止一个原函数,F是f众多原函数中的一个在而已。

关于原函数有两个重要的定理,第一个简单地说,是连续函数必定有原函数。即:

定理1:若函数f在区间I上连续,则f在I上存在原函数F,即F’(x)=f(x), x∈I.

这个定理以后再证明,现在记住它就可以了。因为要证明它,需要用到变上限的定积分的知识。

定理2:设F是f在区间I上的一个原函数,则

1、F C也是f在I上的原函数,其中C为任意常量函数;

2、f在I上的任意两个原函数之间,只可能相差一个常数.

证明:1、依题意F’=f,则当C为常量函数时,(F C)’=F’=f,得证.

2、设F,G是f在I上的任意两个原函数,则有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.

根据拉格朗日中值定理推得:F-G≡C, C为常量函数.

定理的第一点是原函数的充分条件,第二点是原函数的必要条件,合起来就成了充要条件。

关于“拉格朗日中值定理”这一句可能让不少小伙伴理解不了。怎么就跟拉格朗日中值定理有关了呢?

因为F-G在I上符合拉格朗日中值定理的条件,任取一个闭区间[a,b]属于I,就有((F-G)(b)-(F-G)(a))=(F-G)'(ξ)(a-b)=0,所以(F-G)(b)=(F-G)(a)。又这个区间是任取的,所以函数F-G就是一个常量函数,记为C。

对原函数的定义有了深刻理解之后,就可以来理解不定积分的定义了。

定义2:函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分,记作:∫f(x)dx,其中称∫为积分号,f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表达式,x为积分变量.

注:若F是f的一个原函数,则f的不定积分是一个函数族{F C}, C为任意常数,写作:∫f(x)dx=F(x) C. 其中C为积分常量. 于是有:

[∫f(x)dx]’=[F(x) C]’=f(x);【不定积分的导数,就是原函数的导数,结果等于被积函数。不定积分看作穿衣,求导看作脱衣,穿了脱,结果还是没穿。

d∫f(x)dx=d[F(x) C]=f(x)dx. 【不定积分的微分,就是对原函数的积分,写成F'(x)dx就更容易明白了

现在你理解什么是不定积分了吗?

最后再来看几个简单的例子,加深对不定积分定义的理解。

例:因为(sinx)’=cosx, 所以∫cosdx=sinx C.

因为(lnx)’=1/x, 所以∫1/xdx=lnx C.

因为(e^x)’=e^x, 所以∫e^xdx=e^x C.

因为x’=1, 所以∫dx=x C.

因为(x^2)’=2x, 所以2∫xdx=x^2 C.

你还能举出更多的例子吗?

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