三角函数求30度直角三角形边长（三个转换边角直角）

H21.如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，PBD是⊙O的割线，割线PBD与AC相交于点E，且BA=BP。（1）求证：AB=BE；（2）若⊙O的半径r=5，AB=6，求AD的长。

解读：

（1）欲证AB=BE，只需证∠EAB=∠BEA即可。

由PA是⊙O的切线得，∠EAP=90°，

即∠PAB ∠EAB=90°，

由BA=BP得，∠PAB=∠P

又∠P ∠AEB=90°，

所以∠PAB ∠BEA=90°，

因而∠EAB=∠BEA，

所以AB=BE；

（2）

欲求AD，只需证明AD=AP，求AP即可。

注意到Rt△AEP和Rt△BAC中，有等角，

利用三角函数列方程，求AP。

如图，连BC，

由AC为⊙O的直径，

则∠ABC=90°，

AC=10，BA=6，由勾股定理得，

BC=8，且AB=BE=BP=6，PE=12，

由∠C ∠CAB=90°，

又∠BAP ∠CAB=90°，

所以∠C=∠D=∠BAP=∠P，

cos∠C=cos∠P，

即8:10=AP：12

所以AP=48/5，

由∠D=∠P得，

AD=AP=48/5。

综述：

本题属中考中档题，涉及一些边、角、直角的转换问题，注意以下几点：

1.等边用等角转化；

2.等角用等角余角等、同弧上的圆周角等转换；

3.直角用切线、直径等条件转换；

4.求线段长，用等角的三角函数值等转换。

---

,