双变量存在性或任意性的原理(存在性或任意性)

上期练习:

双变量存在性或任意性的原理(存在性或任意性)(1)

我们说过让大家用特例法,来快速解决。

分析:因为an是等差数列,所以通项公式为一个一次函数,又看a1,a3,a9是等比数列,因此很简单的一次函数即可满足。

所以an=n即可以,所以原式很简单解决。1 3 9/2 4 10=13/16

本期内容:一个问题中含有两个变量,一边是任意,另一边又是存在性,很多时候学生一看见这样问题就晕,觉得这是一个难点。

但这样的问题能克服。解决双变量“存在性或任意性”问题的关键就是将含有全称量词或存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系),目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好数学思维品质。

类型—:形如“对任意x1属于A,都存在x2属于B,使得g(x2)=f(x1)成立。

例:已知函数

双变量存在性或任意性的原理(存在性或任意性)(2)

若对任意x1属于[-1,1],总存在x2属于[0,2],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围。

分析:因为g(x)在研究范围内,单调递增,没有未知数,很快求出g(x2)属于[-1/3,6]

f(x)是二次函数,首先求出对称轴x=-1/3,开口向上,结合函数图象可知f(-1/3)是最小值,且为-a2-2a-1/3,f(1)是最大值=-a2-2a 5;

关键转化:f(x)中的任何值在g(x)都能找到有使他们相等,即f(x)的范围小一点,g(x)范围大一点,再即说f(x)的值域是[-1/3,6]的子集

所以:

双变量存在性或任意性的原理(存在性或任意性)(3)

类型二:形如“存在x1属于A及存在x2属于B,使得g(x2)=f(x1)成立。

变式训练:已知函数f(x)=2x,g(x)=kx-2k 2(k>0),若存在x1属于[0.1/2],及x2属于[0,1/2],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数k的取值范围为?

分析:和前面有些类似,都是在相等情况下,但也有不同。因为在f(x)找到一个函数值,则在g(x)中能够找到函数值让他们相等,本类问题的实质,即是说两个函数的值域不能为空集。

我们下期评讲,大家先练习。

视频讲解

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