初中平面几何辅助线技巧 初中几何线段和差辅助线做法以及口诀

口诀：

线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

一、 在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：

例1、 已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB AC>BD DE CE.

证明：（法一）

将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，

在△AMN中，AM AN>MD DE NE;（1）

在△BDM中，MB MD>BD；（2）

在△CEN中，CN NE>CE；（3）

由（1） （2） （3）得：

AM AN MB MD CN NE>MD DE NE BD CE

∴AB AC>BD DE EC

（法二：图1-2）

延长BD交AC于F，廷长CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB AF>BD DG GF（三角形两边之和大于第三边）…（1）

GF FC>GE CE（同上）（2）

DG GE>DE（同上）（3）

由（1） （2） （3）得：

AB AF GF FC DG GE>BD DG GF GE CE DE

∴AB AC>BD DE EC。

二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如图2-1：已知D为△ABC内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC。

分析：因为∠BDC与∠BAC不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC处于在外角的位置，∠BAC处于在内角的位置；

证法一：延长BD交AC于点E，这时∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC

证法二：连接AD，并廷长交BC于F，这时∠BDF是△ABD的

外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF

∠CDF>∠BAD ∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。

注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。

三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：如图3-1：已知AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE CF>EF。

分析：要证BE CF>EF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2，

∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。

证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF，则DN=DC，

在△DBE和△NDE中：

∴△DBE≌△NDE（SAS）

∴BE=NE（全等三角形对应边相等）

同理可得：CF=NF

在△EFN中EN FN>EF（三角形两边之和大于第三边）

∴BE CF>EF。

注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的对应性质得到相等元素。

四、 截长补短法作辅助线。

例如：已知如图6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任一点

求证：AB-AC>PB-PC。

分析：要证：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三边关系，定理证之，因为欲证的线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再连接PN，则PC=PN，又在△PNB中，PB-PN<BN，

即：AB-AC>PB-PC。

证明：（截长法）

在AB上截取AN=AC连接PN,在△APN和△APC中

AN=AC（辅助线作法）

∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边）

∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形对应边相等）

∵在△BPN中，有PB-PN<BN（三角形两边之差小于第三边）

∴BP-PC<AB-AC

证明：（补短法）

延长AC至M，使AM=AB，连接PM，

在△ABP和△AMP中

AB=AM（辅助线作法）

∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共边）

∴△ABP≌△AMP（SAS）

∴PB=PM（全等三角形对应边相等）

又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形两边之差小于第三边)

∴AB-AC>PB-PC。

例1．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B ∠D=180°，求证：AE=AD BE。

例2如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD AB=2AE，

求证：∠ADC ∠B=180º

例3已知：如图，等腰三角形ABC中，AB=AC， A=108°，BD平分ABC。 求证：BC=AB DC。

例4如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB于M，且AM=MB。求证：CD=DB。

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