宇宙的形状庞加莱猜想 困扰了人类100年的庞加莱猜想

宇宙的形状是什么？

这个问题曾经困扰了很多科学家，毕竟，对于宇宙是否有边界，没有任何一个科学家可以给你答案。

我曾看过一部有趣的电影，银河系其实是一个外星人手里的弹珠，所以宇宙中才会有这么多无法预测的事情发生。

作为二十世纪初的数学领袖，庞加莱也对宇宙的形状陷入了思考。庞加莱被公认为是数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。因为，他的研究和贡献涉及数学的各个分支，例如函数论、代数拓扑学、阿贝尔函数和代数几何学、数论、代数学、微分方程、数学基础、非欧几何、渐近级数、概率论等，当代数学不少研究课题都溯源于他的工作．

而且他在天体力学的研究上被誉为是牛顿之后的一座里程碑，同时也是相对论的先驱之一。可以说是一位天才级的人物，同时在哲学领域也有建树。

庞加莱对于数学达到了痴迷的程度，有次他写信给母亲，告诉母亲自己感冒症状的变化，他居然用了一个数学图表来表示感冒症状的变化，也不考虑他母亲看不看得懂。庞加莱每天只花4个小时做数学题,因为他相信他的潜意识会帮助他完成剩下的数学研究。简单来说，别人睡觉是真的在睡觉，他睡觉那是在开拓数学新领域～

庞加莱写给母亲的信

庞加莱在 1904 年的时间发表了一篇论文，他在论文中提出：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。

因为庞加莱知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，单连通是拓扑学的概念，拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。比如我们熟知的蝴蝶效应就属于拓扑学。

设X是拓扑空间，如果X中任何一个点的回路都可以连续地收缩成这个点，那么就称X为单连通的，平面、球面都是单连通的，但是环面不是单连通。如果不能理解，那么你们可以简单地认为，就是不能要有洞，煎饼是单连通的，但是甜甜圈就不是。

在球面任何一个点的回路都可以连续地收缩成这个点

无论怎么样， 我们也不能让这个橡胶圈缩到一点去，因为有环壁

这和我们普通的观念并不一样，在拓扑学的世界里，球体、圆锥体、圆柱体最终都被视为同一形状的物体。

手镯和茶杯这两个物体也被视为具有同样的形状的物体。拓扑学是从一个物体身上的孔的数量，来判断其形状的。所以也被称为“柔性数学“，被誉为从质疑物体的”量“到关注物体的“质”的一场革命。

所以，庞加莱就猜想，如果地球不是完美的球形那又如何呢？假设存在一个贯穿北极和南极的巨大孔洞，地球的形状就像是一个甜甜圈，那么在这种情况下，环游世界的船队一样可以回到出发地，所以，通过航行回到出发地，就认为地球是完美的球形，这个论断不能完全成立。

甜甜圈形状的地球，绳子会绑在环状上收不回来

这也同样可以推广到宇宙，如果一个人带着一根足够长的绳子,一端固定在喜马拉雅山上,他从地球出发进行环绕宇宙一圈的旅行，假设这个人平安无事地返回地球，这时他是不是可以拽着绳子的两头将绳子收回，如果收回了说明宇宙是球形的，如果收不回说明宇宙是球形以外的其他形状。

贝纳胡博士将绳子环绕在投影于墙面上的宇宙图片上

所以庞加莱就在论文里提出在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。也就是前面说的：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。

这句话要仔细拆解一下，单连通就是指所有闭曲线收缩到一点，封闭的也就是指闭合的环，同胚就是等同， 任何一个没有洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。

到了 1905 年的时候，庞加莱又把这个猜想修改为：“任何与 n 维球面同伦的 n 维封闭流形必定同胚于 n 维球面。”这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

四维庞加莱猜想

庞加莱曾经试图自己去证明这个猜想，可以他一直以来身体并不是很好，从 1908 年开始就一直疾病缠身，到了 1912 年，就一病不起，在穿衣服时，因血栓梗塞，在巴黎逝世，终年仅58岁。

庞加莱猜想对宇宙形状的发问，对于20世纪初的数学家来说，可能是一个太过超前的问题，所以尽管在二十世纪的前五十年里，如著名的数学家宾、哈肯、莫伊泽和帕帕奇拉克普罗斯虽然都向庞加莱猜想发起过挑战，但都是以失败告终，这也让庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。

庞加莱猜想

比如哈肯就打算从发证法入手，去证明这个猜想是错误的，在数学领域，如果想要证明一个难题是正确的，往往要花费很大的精力，但是如果想要证明一个难题是错误的，只需要找到一个反例就可以，却并没有成功找到反例。

不过虽然没有证明庞加莱猜想，但还是有许多其他的成果在证明过程中诞生，比如发展出低维拓扑学这门学科，这也让庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。

到了 1960 年，30 岁的斯梅尔就想，为什么一定要先从三维开始证明，我就不能从高维往下证明吗？花了整整一年的时间，斯梅尔终于完了五维空间以上的庞加莱猜想证明。

年轻时候的斯梅尔

1961 年的夏天，在乌克兰基辅的非线性振动会议上，斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的五维空间和五维以上的证明，立时引起轰动。斯梅尔由此获得 1966 年菲尔茨奖。

而斯梅尔信心满怀地想要去征服三维空间的庞加莱猜想，不过以失败告终。在 1983 年，美国数学家弗里德曼又将证明向前推动了一步，他证出了四维空间中的庞加莱猜想，并因此获得菲尔茨奖。后来，西蒙·唐纳森将四维庞加莱应用于四位空间结构研究并取得重大成果，也荣获了菲尔兹奖。

而自此高维庞加莱猜想被彻底证明，只剩下三维空间。这个时候，人们想到，拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展，有人开始想到了其他的工具， 瑟斯顿就是其中之一。

与此同时， 瑟斯顿通过几何结构的方法对三维流形进行切割提出了著名的几何化猜想，它指的是任取一个紧致(可能带边)的三维流形作连通和分解以使其成为尽可能简单的三维流形的连通和，对于带边流形可能还需要沿着一些圆盘继续切割，有唯一的方法沿着一些环面(如果是带边流形还要加上平环)割开得到尽可能简单的若干小块，这些小块均为八种标准几何结构之一。（不论宇宙是什么形状，都必定可以分解为最多8种各自不同的几何结构。）

上图是瑟斯顿几何化的一个实例。假设我们有一个苹果，三只蛀虫蛀蚀了三条管道，如左帧所示，这样我们得到了一个带边界的三维流形。根据几何化纲领，这个被蛀蚀的苹果内部容许一个双曲黎曼度量，使得其边界曲面的曲率处处为-1。我们将配有双曲度量的苹果周期性地嵌在三维双曲空间之中，得到右帧所示图形

瑟斯顿的几何化猜想对于庞加莱猜想的证明工作起到了极为关键的作用，瑟斯顿指出庞加莱猜想只是几何化猜想的一个特例。几何化猜想是一个有关三维空间几何化的更强大、更普遍的猜想,认为任何空间都可还原成少数几个基本的图形。

也就是说你如果都能证明几何化猜想了，自然庞加莱猜想也是对的。瑟斯顿因几何化猜想而获得了 1982 年的菲尔茨奖。拓扑学家们努力发展一系列精致的工具来研究和分析形状,但一直没有进展。

后来，汉密尔顿提出了解决几何化猜想的总体策略：通过应用一族被称为“里奇流”发展方程的性质及其行为，数学家可以在三维流形上构造所需要的拓扑手术，从而使不规则的流形获得平滑和对称的形状。可是，汉密尔顿发现在对流形实施里奇流手术的过程中，总会出现一些无法控制其走向的奇点。因此，如何发展出一套合适的系统来处理奇点问题，就成为整个过程中最为关键和困难的一步。

曲率流使得曲率越来越均匀，直至变成常数，曲面变成球面

终于到了 2003 年， 佩雷尔曼证明了几何化猜想。佩雷尔曼是数学界有名的隐士，他从 4 岁开始就沉迷于数学无法自拔，16 岁就获得了国际奥林匹克竞赛金奖，拿到了有史以来的最高分。对于他而言，数学就如同呼吸一样，所以他谢绝了许多颁发给他的数学奖项，沉迷于自己的数学世界之中。

1993 年，佩雷尔曼取得了一项重大成就，解决了困扰数学界多年的“灵魂猜想”，而证明过程只有简简单单的三四页纸。灵魂猜想的解决使得佩雷尔曼名声大噪，更为重要的是，凭借日益积累的声誉，佩雷尔曼得以接触到一批顶尖的数学大师。

在他们的影响下，佩雷尔曼充分吸收了几何与拓扑领域最前沿的思想方法，并且进一步凝练了自己的主攻方向，开始将目光瞄向了拓扑学中的头号难题――庞加莱猜想。

从 1994 年到 2002 年，在这整整8年的时间中，佩雷尔曼几乎完全消失在主流数学界的视线之外。然而，就在人们要将他彻底遗忘时，他却重出江湖，带来了更震撼的消息。

2002 年佩雷尔曼在 ArXiv 网站上张贴了一篇论文，是美国康奈尔大学图书馆办的一个网站，供数理科学家张贴论文预印本。佩雷尔曼张贴的这篇论文是他证明庞加莱猜想的三篇文章的第一篇。第二篇和第三篇论文在2003年张贴。整个过程如同行云流水。

论文内容

第一篇论文发出去之后，他给十几位数学家发了邮件，请他们对自己的论证过程给予评价，由此震惊了整个数学界，专家们认为，这一难题的解决很可能在物理和其他领域上得到“激动人心”的应用，有助于科学家弄清楚宇宙的形状。

而对于佩雷尔曼的论证过程的审核检查则整整花了近 3 年的时间，过去庞加莱猜想一直以来大家多局限于适用拓扑学知识来进行证明，而佩雷尔曼却是利用了微分几何学的最新知识，佩雷尔曼综合了几何分析和微分方程领域中的大量工具，发展了一套统一的系统用于对流形进行预防性手术，从而可以及时发现和有效控制奇点。此外，他还从统计物理学中汲取了灵感，极其巧妙的构造了一个熵泛函公式，从而排除了最令数学家头疼的“雪茄”类奇点，使得任何三维流形在里奇流演化操作下趋于均匀，最终获得正则化的几何结构。从而解开了庞加莱猜想这个被认为是拓扑学象征的世纪难题。

一共有 3 组世界顶尖的数学家团队参与了对其证明的验核工作。其中包括来自我国的著名数学家田刚、曹怀东、朱熹平。

然而，审核工作却进行的异常艰辛，因为已经公开的3篇论文在论证结构上跳跃性极强，缺少详尽的技术细节。

为了尽快澄清这些证明，田刚等人邀请佩雷尔曼前往美国举办研讨会，亲自向数学界讲解他的工作。2003年4月，佩雷尔曼来到了麻省理工学院并举行讲座。这次讲座与以往有所不同，他没有使用PPT资料，而是拿起粉笔，转身朝向讲堂里巨大的黑板，在没有任何草稿的前提下直接开始了他的讲解。

2004年5月，在确信数学界已经正确理解了他的证明之后，佩雷尔曼又回到了圣彼得堡。而田刚等人又花费了两年才最终完成了审核检查工作，因为佩雷尔曼只提供了证明的草稿，且其证明内容并不止限于解决庞加莱猜想，在这两年的时间里田刚等人为了让论文更易阅读，逐步填补丰富了佩雷尔曼证明中的细节部分，终于将庞加莱猜想彻底证明。

田刚

2006年8月在西班牙马德里召开的国际数学大会上，国际数学联合会决定将有“数学诺贝尔奖”之称的菲尔茨奖授予佩雷尔曼。然而，面对这巨大的荣誉他却选择了拒绝。

因为佩雷尔曼仅仅将论文挂在互联网上，让所有对庞加莱猜想有兴趣的人了解自己的工作，始终拒绝向各大数学权威期刊投稿。面对当事人拒绝配合的尴尬局面，经过一番讨论后，克莱研究所决定不受已有规则的限制，破例将“千禧年大奖”颁发给佩雷尔曼。但他也拒领“千禧年数学大奖”。

佩雷尔曼再次选择了消失，直到现在，也没有人知道他的具体行踪，只知道他是和母亲生活在一起。

“只要我还不出名，我就有得选择……现在，当我成为一个公众人物后，我不愿意像一个宠物那样成为人们关注的焦点，同时又无法口吐真言，所以我只能退出。”

庞加莱猜想在诞生的短短一百年时间里，就已经产生了 5 位菲尔兹奖获得者，对于数学的发展产生了巨大的推动作用，比如流形的性质、里奇流的应用、叶状结构理论等。而庞加莱猜想的破解，也让我们对呀宇宙的形状有了一个更加深入的了解与认识。而佩雷尔曼对于庞加莱猜想证明所留下的新思想、新方法、新工具，也依然在推动着数学不断前进发展。

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