什么弦乐器比吉他还小（弦乐器如吉他的数学知识与音阶规律）

1.1 一个音程对应一段弦L，在一段弦内需要找到对应最和谐的音的点；(弦乐器弦的振动频率和其长度是成反比的，最和谐的点是整数比例关系的点)

1.2 要能解决“转调”问题（简单的关系或比例，弦的不同段实现同音不同调的需要，弦长减半，音高为两倍，即2F；）

1.3 一段弦在3/4L和2/3L这两个位置与主音是最和谐的音（整数关系的点的音最和谐）；

1.4 转而找2/3的2/3，即与最和谐的那个音的最和谐的音，这样就得到了4/9的位置，即9/4F音高。如果超出了2F的范围，进入了下一个音程可利用“等差音高序列”将频率减半，得弦长8/9的位置。如此进行“按3/2比例寻找最和谐音”这个过程循环，循环多少次呢？考虑到（3/2）^5≈7.59，和2^3＝8很接近;所以循环5次比较合适，得到了5个音，加上主音和4/3F，一共是7个音（两音之间的关系只存在两种比例关系，也就是全音与半音的关系）。这就是为什么音律上要取do、re、mi等等7个音符而不是6个音符或者8个音符的原因。

这7个音符的频率，从小到大分别是1F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。

如果这里的F是do，那么9/8F就是re、81/64F就是mi……，这7个频率组成了7声音阶。这7个音都有各自正式的名字，在西方音乐术语中，它们分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下属音（subdominant）、属音（dominant）、下中音（submediant）、导音（leading tone）。其中和主音关系最密切的是第5个“属音”so和第4个“下属音”fa，原因前面已经说过了，因为它们和主音的和谐程度分别是第一高和第二高的。由于这个音律主要是从“属音”so即3/2F推导出来的， 而3/2这个比例在西方音乐术语中叫“纯五度”，所以这种音律叫做“五度相生律” 。西方最早提出“五度相生律”的是古希腊的毕达哥拉斯（所以西方把按3/2比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），东方是《管子》一书的作者（不一定是管仲本人）。我国历代的各种音律，大部分也都是从“三分损益律”发展出来的，也可以认为它们都是“五度相生律”。

从上图可见，在1到1/2的五个整数比之间中，第3、4个的整数比的相邻值差是0.04，以及第7个整数比与1/2的相邻值差是0.03，相邻的值相对于其他相邻值，差不多小一倍，所以构成半音关系。

上述半弦长两倍音高的（3/2）^5≈7.59和2^3＝8的值存在差异，需要修正；

2.1 从7声音阶发展到12声音阶

（3/2)^12≈129.7，和2^7=128很接近，于是他们把“五度相生律”中“按3/2比例寻找最和谐音”的循环过程重复12次，就有了12个音符（包括上面的7个音符）。

排序后为：

2.2 十二平均律：

对于 “转调”来说，上面的12声音阶还是有一个近似值的问题。

实现一个八度内均分12份，可以直接就把2:1这个比例关系开12次方。也就是说，真正的半音比例应该是2^(1/12);

吉它的第一弦是细弦，同品位置较细的弦相对于相邻的较粗的弦，要高4个音音或5个半音；

吉它的第0、1、3……品，品越高，弦越短，振动频率越高，音也越高，相邻之间是一个半音关系。

吉它同弦相邻品之间是一个半音的关系，12品构成一个转调的循环。

吉它同品相邻弦之间的关系：

第2、3弦：同品相邻弦之间相关4个半音；

第2、3弦以外的其他弦：同品相邻弦之间相关5个半音；

第1至第6弦之间相差：5 4 5 5 5=24个半音，构成一个转调的循环。

由上，如果第6弦第0品的音定为低音mi（C大调mi型），则按上面的规则，可以推算出吉他上各弦各品的全部音阶。

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