小船渡河问题中船速大于水速(小船过河小船靠岸)

求做直线运动物体的速度和位移,用什么公式?Vt=v0 at,x=v0t 1/2at2.同样的,求做曲线运动物体的速度和位移,可以怎么做呢?先进行分解,得到最熟悉的直线运动:“正交分解、化曲为直”:变曲线形式的合运动为两个直线形式的分运动;用平行四边形定则,再把两个分运动中待求的矢量进行合成,就可以得到答案。

水平抛出一支粉笔,运动轨迹是一条抛物线,做匀变速曲线运动。已知粉笔水平初速度是5m/s,竖直方向做自由落体运动,求3秒末粉笔的速度是多少

第一步,“化曲为直”:粉笔的合运动是匀变速曲线运动。根据题意,可以分解为水平方向的匀速直线运动,和竖直方向的匀加速直线运动。

第二步,“求分物理量”:水平分速度v水=5m/s;竖直分速度v竖=gt=10*3=30m/s;第三步,“分量合成”:利用平四法则,合速度的大小是(52 302)1/2,方向是tan

θ=1/6.

小船渡河问题中船速大于水速(小船过河小船靠岸)(1)

同学们喜不喜欢柯南?他是我最喜欢的动漫人物之一,尤其是临近考试时,找幅柯南画像挂在桌前,心里面很安慰。不只因为“挂科难”,还想拥和柯南一样睿智。今天我们跟随柯南走进现场,当一回侦探。请问各位侦探,当车速不低于多少时,能够飞跃到对面大楼的楼顶呢?

还原一下现场:楼距60米,楼高差20米,驾车从A位置飞到B位置,最低车速为多少?汽车实际的运动轨迹是不是一条抛物线呢?对,它在做匀变速曲线运动。那我们可以把这个运动“化曲为直”:分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。由于分运动之间具有等时性,所以汽车在水平和竖直方向经历的时间应该相等。水平方向的时间是60/v,竖直方向经历的时间是△H=1/2gt2,所以t=(2*20/10)1/2=2s;由此可得,v=60/2=30m/s=108km/h.好,我们看看大家的推理是否正确?

果然没错!看来完美的推理是要以缜密的科学为基础的。从这点看,柯南一定不是小学生了,因为他学过“运动的合成与分解。”

三类常见“运动的合成与分解”问题

“小船过河”问题。一条河岸,其中有水。水速v2,从左向右流动。船速v1,为船在静水中的速度。

A、均恒水速问题

小船渡河问题中船速大于水速(小船过河小船靠岸)(2)

第一种情况,是船速>水速。这个船的性能不能太差了,至少比水流的速度大。在此前提下,有两个问题。楚霸王兵退乌江,看到有一樵夫,他是想用最短的位移还是时间过河? 渡河时间如何最短?你作为樵夫应该怎么做?船速大小已经固定,你能掌握的是谁?只有船头的指向。船在流水当中,要被水往下游冲(被时代的潮流所裹挟,随波逐游,这个速度是漂流不是过河);船本身还有一个速度。水流速度是横向的,并不影响渡河(独立性),只有谁能影响渡河时间?船速。故当船头正对对岸(船头是直的,但是身体是诚实的,像极了过年收红包的样子),全力以赴往对岸开所需时间最短。(能量角度分析:能量火力全开都用于速度大小)在这种情况下,船实际发生的运动应该是两个速度的合成。指向船的下游o’点。船头正对对岸用时最短,由于分运动与合运动具有等时性,在这个方向的时间和总时间相等,所以渡河时间就是t=d/v1,即岸宽比船速;渡河位移等于d/sinα(α为合速度与河岸的夹角)。

考试题喜欢问:“渡河时间最短,保持船头正对河岸,行至河中央突然洪水来了,船最终到达对岸,问时间变还是不变?”第一感觉肯定是要变,实际上变不变?不变!为什么?岸宽不变,船速没变,用时t=d/v1就不变。哪个变了?到达下游的位置。抵达到更下游的地方去了。

渡河位移如何最短?乘客不管你快不快,只管你贵不贵,反正你划船我也不累。。显然船头正对对岸的模型,走过的距离不是最短,是一条斜线。怎么就最短了?当船沿着出发点o以河岸的垂线方式行驶,是不是就最短了?实际上,这条船,随波逐流的速度v2,要走垂线,它的合速度一定是沿着o到o’点这个方向的,此时船头的方向还能不能指向河对岸了?不能了。根据矢量相加的平行四边形法则,知道:船头应该指向上游,(能量角度分析:部分能量用于修正航向)但指向上游并非随意,有个船头与河岸所成夹角的问题。角θ等于多少?其实就是这个角θ对吧? cosθ=V2/v1,此时,渡河的最短时间为t=d/v1sinθ.

第二种情况,船速<水速。船撞冰山漏水了。在这个背景下:

渡河时间如何最短?仍然船头正对对岸。

渡河位移如何最短?水速沿水平方向,想让合速度垂直于对岸刚才是可以的,因为船速大于水速,斜边大于直角边。船速小于水速,还能实现吗?欧几里得集合实现不了,因为内角和溢出,闵氏几何才能做得到。在这种情况下,最小距离不再是河岸宽度d,船会向下游飘移。这个时候使用的方法是矢量三角形法——辅助圆法。以水速v2的末端为圆心,以船速v1的大小为半径做圆(一扎做圆,“人体圆规”),过o点做圆的切线。这就是船速v1,这就是合速度v合。而这条线段所代表的长度就是最短的渡河距离。即合速度与圆相切时,渡河距离最短。此时船头仍然指向上游,它和河岸的夹角θ为cosθ=v1/v2,即船速比水速。两种情况都是余弦,但含义不同。做题技巧:不管水速大还是船速大,只要问到当船头与河岸夹角的余弦值为多少时,所需距离最短?用小的速度除以大的速度,因为余弦的值肯定小于等于1,这是一个数学技巧。而此时的最短位移为Smin=d/sinθ.

  1. 非均恒水速问题:水中央速度最大(到中流击水,浪遏飞舟:英雄气概)

小船渡河问题中船速大于水速(小船过河小船靠岸)(3)

小船渡河问题中船速大于水速(小船过河小船靠岸)(4)

友谊的小船渡过河,就该靠岸了—— “小船靠岸”模型。不光是小船,很多物体的运动都可以概括,也叫作“牵连问题”。底下是一条河,上面是一条小船。通过光滑定滑轮,绳子的一头拴在船上,另一头速度是v0,拉着这个小船靠岸,小船将做怎样的运动?匀速运动?加速运动?减速运动?

小船渡河问题中船速大于水速(小船过河小船靠岸)(5)

“小船靠岸”有两个概念:一个是“细绳模型”:理想的绳和杆是刚性的,不可伸长:拉绳子的时候,相同时间,绳两端增加和减少的长度是相同的。因此在绳子两端,沿着绳子的方向,速度大小是相等的。第二个概念:物体的实际速度一定是合速度。(分解两个分速度方向应取沿绳方向——平动、垂直于绳的方向——转动)。如果绳子一端以v0做匀速运动,小船将做怎样的运动?好多同学想这样做,不是说绳子中的速度相等吗?这里的速度也是v0,,把这个速度正交分解,求的是水平分速度v1.显然,v1与v0存在三角关系v1=v0cosθ,靠岸过程,θ增大,cosθ减小,即v1减小。这就是最典型的错误分解方法。错在哪儿?错在没有深刻认识合运动就是实际发生的运动,是肉眼可见实实在在的运动。(否则成了飞船)v1是不是小船实际发生的运动?是,所以它应该充当什么运动?合运动。这里把它当做什么了?分运动了,所以就不对!竖直方向的v2可不可能存在?小船能飞起来吗?不能。孤儿它是不存在的。那怎么做呢?船实际发生的运动是合运动,你要分解的是它。题目给了v0了,所以这是一个分解方向(收风筝线);另外垂直于绳是不是还可以分解出一个速度:圆周运动的线速度?(线在旋转,不让船脱离水面)由此得出:v=v1/cosθ=vo/cosθ:小船的速度在变大,是匀加速吗?是cosθ的非线性关系。(实际上,快靠岸的时候不仅不拉绳,还要踹两脚/船头会垫旧的橡胶轮胎),跟刚才的结论正好相反。那这道题最重要的一点,就是你要清楚:你分解的是谁?是合运动,而不是分运动。人生可没有橡皮擦。

拓展:有一个定滑轮,定滑轮下方吊着一个物体。是一个正往上升的矿井。这根绳子通过定滑轮连接一辆汽车。汽车匀速行驶,自然要把矿井拉上来。矿井受重力作用,受绳子拉力T的作用,这个拉力T和重力G做比较而言,是比重力大?还是小?还是相等?拿到这个问题,怎么入手?咱们学过超重和失重。要分析受力,先看运动:如果加速上升,T>G;如果减速上升,T<G;匀速上升的话,T=G。所以关键点在哪儿?就是矿井的速度如何变化?我们先分析速度:小车实际的速度是v0,为合速度,把它正交分解为沿绳方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2,设与地面的夹角为θ.可得v1=v0*cosθ,由于一根绳子上速度总是相等的,所以v=v0*cosθ.小车向右行驶的过程中θ在减小,说明物体的速度在增大,也就是在做加速上升,具有向上的加速度,具有向上的合外力;合外力等于谁?T-mg,显然,有:T>mg。

小船渡河问题中船速大于水速(小船过河小船靠岸)(6)

小船渡河问题中船速大于水速(小船过河小船靠岸)(7)

“贵人出门多风雨”,小船渡河、靠岸后就刮起风下起雨了,这就是风(雨)速模型。以例题的形式来分析:一辆车以16m/s的速度向东行驶,雨点的速度是12m/s,方向竖直向下.问:车上的人看到雨点的运动方向是朝哪儿?下雨天坐汽车看到过雨滴的飞行轨迹没有?那个轨迹长啥样?应该是斜的吧?如果你看到雨滴是沿着车窗竖直往下落的,只有一种可能:汽车现在静止不动。但凡车动,雨都是斜的。车速向前,雨滴速度向下,你在车厢中看到雨滴是怎么飘的?是这样向右下方飘的?还是向左下方飘的。哎,有一些同学认为是右下方,原因是什么?哦,根据运动的合成。但结果恰恰不是这样。为什么?参考系的问题。你在车厢中看到雨滴怎么飘?参考系是谁?是车厢。雨滴相对于车有一个向左的速度,就是车的速度16m/s,此时雨滴还具有向下的速度12m/s。所以关键在于参考系的确立:以大地作为参考系,你在水平运动,雨滴并不动;但以车为参考系,车是不动的,雨滴就会得到一个水平方向的速度,就像在火车里看电线杆一样,是不是原本不动的电线杆,以火车为参考系之后就往后退了?二者合成得到的合速度就是25m/s,方向朝左下方。这就是这个轨迹的成因。

同样的,风速问题。什么是风?就是空气的流动。风速是人感觉到的,在这个背景下,有两种情况:一种是人不动。人站着不动,感到风向你吹来,就是风实际的速度。但有一种情况是人动:假如人是沿着这个方向动的,那么刮风还是刮的这个方向的风,人感觉到风是朝哪儿刮的?人是沿着正东方向运动的,风是沿着正南方向刮的,你感觉刮得是什么风呢?(这个小明姓黄,晓明说:“不要你觉得只要我觉得”,这个问题需要《明学》,因为我是参考系)东风/南风还是北风,还麻将呢!反正不是最炫民族风!是不是沿着这一方向?(东南方向)和车一样:人往东走,以人为参考系,相对人而言,风是向西吹的,再与向南的速度合成,总的速度是向哪儿吹的?西南方向。你会感觉到,实际风是朝这个方向刮的。人感觉到的是合运动。以人为参考系的一种合运动:马克思主义只有中国化才能形成中国特色社会主义、(风向指风来的方向)

  • 思路

找中介参考系问题:绝对速度=相对速度 牵连速度

再结合矢量的三角形合成的几种情况求解。

  • “小船渡河问题”:中介参考系——“水”

绝对速度:小船与河岸之间的速度;

相对速度:小船与水之间的速度;

牵连速度:水与河岸之间的速度。

  • “风速问题”: 中介参考系——“人”

绝对速度:风与地面之间的速度;

相对速度:风与人之间的速度;

牵连速度:人与地面之间的速度。

曲线运动“曲直谈”:

  • 一般的曲线运动的解决方法:“化曲为直,正交分解”;
  • 速度可分解为切向速度vt和径(法)向速度vn,
  • 加速度可分解为径、切向加速度an=,at=
  • “小船靠岸”:速度可分解为沿绳方向的平动径向速度vn,以及垂直于绳方向的转动切向速度vt;加速度亦如此。
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