四色定理证明的难点（给出实数可数定理及第四个证明）

此文是上期文章预告过的，上期文章给出了实数可数定理的第三个证明——基数减少法证明，今天的文章则要给出实数可数定理的第四个证明——对称证明法。也是为了推翻已有百年历史的假定理——实数集不可数定理。因为 个，个，个任意实数都是可数的，所以任意多个任意实数的集合都是可数的；所以实数集不可数定理是显而易见的假定理，它的唯一证明——对角线法，则是假证明。

本文在证明之前，需要先给出引理如下：

引理 .（实数对称定理）

该引理是说：每一个小数都与一个整数对称，反之亦然. 有限小数与有限整数对称，无限小数与无限整数对称。以小数点为中心，向左和向右的第 位数字是可以相同的。

其中 和是本人提出的二个数学符号，是任意正整数的符号，是其简写；是任意正小数的符号，是其的简写。

例 1. 。

例 2. 。

在人类历史中，因为生产和生活的需要，人们先后发明了自然数、整数、实数、正数、负数，复数，等等；根据上述的实数对称定理，从无限小数就应当可以推出无限整数、如无限循环整数、无限不循环整数、无限混循环整数、无限奇数、无限偶数、无限素数、等等。遗憾的是，目前人类的自然数集 还没有确定的无限自然数；建议将已有自然数集 进行扩张，增加无限整数。我给出的自然数集 的扩张如下图所示，其中包括无限大整数如和超限大整数如 ：

下面给出证明实数可数定理的对称证明法：简称：对称法：

证. 因为根据实数对称定理可知，开区间 的每一个小数，无论是有限位小数，还是无限位小数，都与一个整数 1-1 对应：

因为整数是可数的；

所以开区间 的全体小数是可数的；

因此实数可数定理成立。

证毕

参考文献

[1] 侯小山，《关于基本实数的一系列重大发现》，《缔客世界》2020年04月，第158页。

下期预报

下期将给出实数可数定理的第五个证明，敬请期待或关注。