初二第二学期数学几何题 头脑风暴BAR初中几何题2

题目：图1：直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，AD是BC边上的高。分别以AB和AC为边向外作等边三角形ABE和ACF，求图中阴影部分的面积。

解法一：见图2，先证明△EBD∽△FAD, ∠EDF=90。

由题目已知AB=BE，AC=AF，Rt△ABD∽Rt△CAD，AB/AC=BD/AD，替换为BE/AF= BD/AD。

在△EBD和△FAD中，∠EBD=∠FAD（* #），BE/AF= BD/AD，对应边的比相等且夹角相等，故△EBD∽△FAD，ED/DF=EB/AF=15/20=3/4。

同时证明∠EDF=90，连接EF，得知△EDF为Rt△。

题目S阴影为S△EDF（1/2 ED·DF）减去S△EAF后可得。

如图3，G为等边△AFC中FC边之中点，连接AG可知E、A、G三点共线（30° 150°），△EGF为Rt△。 EF平方=10平方 （15 10根号3 ）平方=625 300根号3 .

S△EAF=15x10x1/2=75.

设ED=3X，DF=4X，（3X）平方 （4X）平方= EF平方=625 300根号3

S阴影=1/2（ 3X·4X）- S△EAF=75 72根号3 .

解法二：总体思路是阴影部分面积等于四边形EBCF面积（图4）减去三个空白三角形（EAF、EBD、FCD）的面积（图5）。

四边形EBCF面积=S△EAF S△EBA S△ABC S△AFC=225 100根号3 225/4根号3 。

（1）：已知S△EAF=75。

（2）：如图6，根据Rt△射影定理求出BD=9，DC=16

S△EBC=四边形EBCF面积-S△EFC=225 100根号3 225/4根号3 -（150 100根号3） =75 225/4根号3

S△EBD=9/25 S△EBC=9/25（75 225/4 根号3）=27 81/4根号3 .

（3）：如图7，S△BCF=四边形EBCF面积-S△BEF=225 100根号3 225/4根号3 -1/2x15（15/2根号3 20）=75 100根号3 .

S△DFC=16/25 S△BCF=16/25（75 100根号3 ）=48 64根号3 .

阴影部分面积=四边形EBCF面积-S△EAF- S△EBD- S△DFC=225 100根号3 225/4根号3 -75-（27 81/4根号3 ）-（48 64 根号3）=75 72根号3