国考计算题常见题型（国考常考题型容斥原理轻松学）

容斥原理

公式法

【知识点】容斥问题：容斥问题无论在国考还是省考中都属于基础题型，属

于普遍爱考的题型。数量关系在考试中很多人都放弃，在考场上看到容斥问题要

先做，学一学，练一练。

1.题型：

（1）两集合。

（2）三集合。

2.方法：

（1）公式法。无须画图，直接套公式就可以出答案。

（2）画图法。公式用不了，需要画图梳理关系，才能用公式做。

3.两集合公式：

（1）原理：假设你考上公务员，你家房子要装修，你找高照老师来装修，

老师在墙上贴了一层红纸、又贴了一层蓝纸，付钱时，你说只付一层的面积，很

显然，老师亏了（因为老师先贴了 A的面积，又贴了 B的面积），因为中间交叉

部分（A∩B）是两层，你只付一层的钱，所以老师要撕掉一层，A B-A∩B=总-

都不（空白的面积，既不满足 A又不满足 B）。

（2）公式：A B-A∩B=总数-A、B都不满足的个数。

【例1】（2019江苏）市电视台向150位观众调查前一天晚上甲、乙两个频道

的收视情况，其中108人看过甲频道，36人看过乙频道，23人既看过甲频道又看

过乙频道，则受调查观众中在前一天晚上两个频道均未看过的人数是：

A.17 B.22

C.29 D.38

【解析】例1.出现"既看过甲频道又看过乙频道"，即甲∩乙，题中出现甲、

乙、甲∩乙、总数，求"都不"，套公式，A B-A∩B=总数-都不，设两个频道均

未看过的人数为x，代入数据：108 36-23=150-x，看尾数，尾数6-尾数3=尾数3，

尾数8 尾数3=尾数1，尾数1=尾数0-x的尾数，即x的尾数为9，对应C项。【选C】

【注意】速算：看选项，根据选项判定用尾数法。

【例2】（2019广东选调）某单位组织员工进行爱心募捐，鼓励员工捐款捐

物。所有员工都参加了，其中捐物的有45人，捐款的有75人，既捐款又捐物的有

31人，则该单位共有员工（ ）人。

A.89 B.90

C.95 D.99

【解析】例2.有捐物的、有捐款的、有既捐款又捐物的，判定题型为两集合

容斥原理问题。设该单位共有员工x人，"所有员工都参加了"即都不=0，代入

数据：45 75-31=x-0，选项尾数为9、0、5、9，先用尾数判断一下，x的尾数为9，

排除B、C项；解得x=89，对应A项。【选A】

【例3】（2019国考）有100名员工去年和今年均参加考核，考核结果分为优、

良、中、差四个等次。今年考核结果为优的人数是去年的1.2倍，今年考核结果

为良及以下的人员占比比去年低15个百分点。问两年考核结果均为优的人数至少

为多少人？

A.55 B.65

C.75 D.85

【解析】例3.分为优和良及以下，良及以下就包括良、中、差，求"两年考

核结果均为优的人数"，容斥问题。总数为100人，良及以下用其他代替，列表

分析，设去年考核结果为优的人数为x，则今年考核结果为优的人数为1.2x，去

年考核结果为其他（良及以下）的人数为100-x，今年考核结果为其他（良及以

下）的人数为100-1.2x。"今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百

分点"，即（100-1.2x）/100 15/100=（100-x）/100，分母都是100，即

100-1.2x 15=100-x，15=0.2x，解得x=75，则今年考核结果为优的人数为

1.2*75=90。

去年考核结果为优的为A，今年考核结果为优的为B，问两年考核结果均为优

的人数（A∩B），容斥原理问题。75 90-两年考核结果均为优的人数=100-两年

考核结果都不优的人数，即65 两年考核结果都不优的人数=两年考核结果均为优

的人数，要想"两年考核结果都为优的人数"最少，65是定值，则两年考核结果

都不优的人数要最少，两年考核结果都不优的人数最少为0，则两年考核结果都

为优的人数最少为65 0=65，对应B项。【选B】

【注意】

1."今年考核结果为良及以下的人员占比比去年低15个百分点"，总数是100

人，即今年考核结果为良及以下的人数比去年少15人。

2.本题当中，今年考核结果为优的对应左边圆，去年考核结果为优的对应右

边圆，问两年考核结果均为优的人数（A∩B），容斥原理问题。总共是100人，

人数是不变的。

【知识点】三集合标准型：

1.题型识别：出现A∩B、A∩C、B∩C。考上公务员后，找老师装修，贴了A、

B、C三种壁纸，结账的时候只给一层的钱（A、B、C所占的面积），那么老师就

亏了。贴了A、B、C三种壁纸，而只收到一层的钱，那么重叠部分需要撕掉，撕

掉A∩B，A∩B中一部分是两层，一部分（中间）是三层，撕掉一层A∩B后，两层

的部分变为一层，三层的部分（中间）变为两层；再撕掉A∩C，两层的部分变为

一层，两层的部分（中间）变为一层；最后撕掉B∩C，一层（中间）变为0层，

两层变为一层。此时发现中间撕漏了，中间是A∩B∩C，需要补回来。反向思想

是总体-都不，即A B C-A∩B-A∩C-B∩C A∩B∩C=总数-都不。

2.标准型公式：A B C-A∩B-A∩C-B∩C A∩B∩C=总数-都不满足个数。出现

"既„„又„„"。

【例4】（2018陕西）有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，

抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂

和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂

都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达

标的有（ ）种。

A.14 B.15

C.16 D.17

E.18 F.19

G.20 H.21

【解析】例4.判定题型，三集合容斥原理，给了"„„和„„"，即给了A

∩B、A∩C、B∩C，用标准型公式：A B C-A∩B-A∩C-B∩C A∩B∩C=总数-都不。

设都不为x，代入数据：68 77 59-54-43-35 30=120-x，计算用尾数法，尾数-4、

尾数-5和尾数9抵消，30的尾数为0，尾数7-尾数3=尾数4，尾数8 尾数4=尾数2，

所以尾数2=尾数0-x的尾数，x的尾数为8，对应B项。【选E】

【注意】

1.用尾数法计算发现还是慢，所以需要多训练。尾数法：左是左，右是右，

要想快，先消负。68 77 59-54-43-35 30=120-x，左边和右边的尾数是相同的，

有加法和减法，先消负，比如尾数9和尾数-4、尾数-5抵消，30的尾数为0，尾数

7-尾数3=尾数4，尾数8 尾数4=尾数2，所以尾数2=尾数0-x的尾数，x的尾数为8。

2.练习：176 147 132-65-64-62 11=999-x，求x的尾数。尾数-4、尾数-2

正好和尾数6抵消，尾数7 尾数5=尾数2，尾数2 尾数2 尾数1=尾数5，所以尾数

5=尾数9-x的尾数，x的尾数为4。

3.671 472 274-111-124-125 16=999-x，求x的尾数。尾数-1、尾数-5与尾

数6抵消，尾数4和尾数-4抵消，尾数1 尾数2=尾数3，所以尾数3=尾数9-x的尾数，

x的尾数为6。

【例5】（2019安徽事业单位）一公司招聘员工，按规定每人至多可投考两

个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25

人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人。那么

同时报乙、丙职位的人数为（ ）。

A.7人 B.8人

C.5人 D.6人

【解析】例5.判定题型，三集合容斥原理，出现"„„和„„"，用标准型

公式：A B C-A∩B-A∩C-B∩C A∩B∩C=总数-都不，"按规定每人至多可投考两

个职位"，说明没有报三个职位的，共42人报名，没有不报名的，都不为0，22

16 25-8-6-x 0=42-0，尾数-8 尾数-6=尾数-4，尾数5 尾数-4=尾数1，尾数2

尾数6 尾数1=尾数9，所以尾数9-x的尾数=尾数2，x尾数为7，对应A项。【选A】

【例6】（2019长江海事局）有三支搜救队从不同方向搜索走失的游客，A、

B、C搜救面积分别为220平方千米，160平方千米，280平方千米，三支队共搜救

了面积为500的区域，A与B、B与C、A与B与C搜救重叠的面积是A与C搜救重叠面积

的50%、30%、20%。问A与C搜救重叠的区域是多少平方千米？

A.120 B.100

C.80 D.70

【解析】例6.出现A∩B、B∩C、A∩B∩C，都和A∩C有关，用标准型公式，

设A∩C为10x，设x会有小数，不好计算，A B C-A∩B-A∩C-B∩C A∩B∩C=总数-

都不，搜救的面积中没有不搜救的面积，都不为0，220 160 280-5x-3x-10x 2x

=500，220 280=500，160-16x=0，解得x=10，问的是A∩C，10x=100，对应B项。

【选B】

【注意】三支队共搜救了面积为500的区域，说明没有不搜救的区域。和例5

一样，共42人报名，42人中没有不报名的。

【知识点】三集合非标准型：原理与之前相同，也是贴纸然后撕掉多余的部

分。但是前面撕掉后需要继续补，数量老师不想做赔本买卖，找最优办法。m、n、

p都只有两层，用言语可以表示为"满足两个条件"；q只有三层，表示为"满足

三个条件"。在"撕"的时候不想撕完再补，所以两层的地方只需要撕掉一层，

三层的地方只需要撕掉两层。

1.前提：出现（只）满足两个条件。

2.非标准型公式：A B C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不满足个

数（空白面积）。

3.例：三个集合分别代表考上选调生、事业编、公务员，则考上两个单位对

应m、n、p，考上三个单位对应q。

4.三集合区分：

（1）标准型：A B C-A∩B-A∩C-B∩C A∩B∩C=总数-都不。识别：分开给

出两两交集（既„„又„„），即A∩B、A∩C、B∩C。

（2）非标型：A B C-满足两者-2*三者满足=总数-都不。识别：（只）满足

两个条件。

【例7】（2019河北）某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有

22人，参加物理竞赛的有27人，参加化学竞赛的有25人，只参加两科竞赛的有24

人，参加三科竞赛的有多少人？

A.2 B.3

C.5 D.7

【解析】例7.读题分析，有数学、物理、化学三个主体，出现"只参加两科"，

即出现"（只）满足两个条件"，对应三集合非标准型公式，A B C-满足两个条

件-2*满足三个条件=总数-都不满足个数，设参加三科竞赛的有x人，共有40人参

加，所以都不参加的为0，代入数据，22 27 25-24-2x=40-0，10-2x=0，解得x=5，

对应C项。【选C】

【注意】可以用尾数法计算，等号右侧尾数是0，22 27 25-24=尾9 尾1=尾0，

尾0-2x=尾0，所以2x尾数为0，结合选项，x只能为5。

【例8】（2018江西）某高校做有关碎片化学习的问卷调查，问卷回收率为

90%，在调查对象中有180人会利用网络课程进行学习，200人利用书本进行学习，

100人利用移动设备进行碎片化学习，同时使用三种方式学习的有50人，同时使

用两种方式学习的有20人，不存在三种方式学习都不用的人。那么，这次共发放

了多少份问卷？

A.370 B.380

C.390 D.400

【解析】例8."同时使用两种方式学习的人数"，出现"满足两个条件"，

对应三集合非标准型公式，代入公式，A B C-满足两个条件-2*满足三个条件=

总数-都不满足个数，180 200 100-20-50*2=0.9x-0，360=0.9x，解得x=400，对

应D项。【选D】

【注意】

1.问卷回收率：想到发传单过程，发出一些调查问卷，有些人会填问卷，而

有些人直接放在口袋中，是收不回来的，所以回收的问卷数=总数*问卷回收率。

2.不要看到结果是360发现没答案，做题需要细心。而且数学题是非常严谨

的题目，也不要选最接近的选项，发现没答案一定是自己算错了。

【例9】（2017重庆选调）一项农村家庭的调查显示，电冰箱拥有率为49%，

电视机拥有率为85%，洗衣机拥有率为44%，至少有两种电器的占63%，三种电器

齐全的占25%，则一种电器都没有的比例为：

A.10% B.15%

C.20% D.25%

【解析】例9.方法一：出现"至少有两种电器"，意思是要么有两种，要么

有三种。已知"至少有两种电器的占63%，三种电器齐全的占25%"，所以只有两

种电器的占63%-25%=38%。出现"满足两项"，对应三集合非标准型公式，A B C-

满足两个条件的占比-2*满足三个条件占比=总数-都不满足的占比，设都不满足

的占比=x，49% 85% 44%-38%-25%*2=1-x，49% 44%-3%=1-x，90%=1-x，解得x=10%，

对应A项。

方法二：A B C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不满足个数，将"2*

满足三个条件"拆分，转化为：A B C-满足两个条件-满足三个条件-满足三个条

件=总数-都不满足个数，满足两个条件 满足三个条件=至少满足两个，代入数据，

49% 85% 44%-63%-25%=1-x，解得x=10%。【选A】

【例10】（2017四川三支一扶）某公司对人力资源总监、财务总监和市场总

监三个岗位实行公开竞聘，竞聘人可以同时竞聘多个岗位。统计竞聘人提交的结

果，有21人竞聘人力资源总监，15人竞聘财务总监，12人竞聘市场总监，若竞聘

至少一个岗位的共有30人，则三个岗位都竞聘的人数最多有多少人？

A.8 B.9

C.10 D.11

【解析】例10.有人力资源总监、财务总监和市场总监三个岗位，问三个岗

位都竞聘的人数最多有多少人，对应三集合非标公式。已知A、B、C，求满足三

个条件的情况最多有多少人，设满足两个条件的有x人，满足三个条件的有y人，

代入公式，A B C-满足两个条件-2*满足三个条件=总数-都不满足个数，已知"若

竞聘至少一个岗位的共有30人"，则总人数=30，都不=0，21 15 12-x-2y=30-0，

x 2y=18，想要y尽可能多，则x要尽可能少，当x=0时y最多，此时2y=18，解得y=9，

对应B项。【选B】

【注意】举例：有吃龙虾、吃肉串、喝啤酒三种，已知至少吃一种的人数有

30人，也就是去吃饭的总人数为30人，"喝西北风"不能叫做吃饭。

【知识点】容斥问题的方法选择：

1.公式法：题目中所给和所求都是公式中的一部分，不用画图浪费时间，直

接套公式。

2.画图法：题目中所给和所求公式里没有，公式法用不了，画图梳理复杂的

关系。

画图法

【注意】画图法：

1.判定：只满足某一个小条件。

2.提醒：每个封闭区域只有一个数。

3.例：如图，左侧圆圈代表A，右侧圆圈代表B，只满足A对应①号区域，只

满足B对应②号区域。假设满足A的有10人，满足B的有8人，满足A∩B的有2人，

则只满足A的有10-2=8人，只满足B的有8-2=6人。

【例11】（2018联考）某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级：两项测

评都不合格的为次品，仅一项测评合格的为中品，两项测评都合格的为优品。某

批产品只有测评Ⅰ合格的产品数是优品数的2倍，测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产

品数之比为6：5。若该批产品次品率为10%，则该批产品的优品率为：

A.10% B.15%

C.20% D.25%

【解析】例 11.判定题型：有测评Ⅰ和测评Ⅱ，两项测评都合格为优品，出

现"只有测评Ⅰ合格"，即只满足一个小条件，用画图法。"只有测评Ⅰ合格的产

品数是优品数的 2倍"，设优品数为 x，则只测评Ⅰ合格的产品数为 2x。测评Ⅰ

合格的产品数为 x 2x=3x，已知"测评Ⅰ合格和测评Ⅱ合格的产品数之比为 6：5"，

所以测评Ⅱ合格的产品数为 2.5x，进而推出只测评Ⅱ合格的产品数为

2.5x-x=1.5x。已知"次 品率为 10%"，所以非次 品占 90%。 非次品数

=2x x 1.5x=4.5x，对应 90%，则总数=4.5x/90%=5x。问优品率，优品数/总数

=x/5x=1/5=20%，对应 C项。【选 C】

【注意】当考试中出现"满足A但不满足B"时，意思也是"只满足A"，都

对应①号区域。

【例12】（2016四川）某学校2015年有64%的教师发表了核心期刊论文；有

40%的教师承担了科研项目，这些教师中有90%公开发表了论文，这些论文均发表

在核心期刊上。则发表了核心期刊论文但没有承担科研项目的教师是承担了科研

项目但没有发表论文的多少倍？

A.4 B.7

C.9 D.10

【解析】例 12.注意题干中的标点符号，"有 40%的教师承担了科研项目，这

些教师中有 90%公开发表了论文"，"这些"代表"承担了科研项目的教师"。题

目中出现"发表了核心期刊论文但没有承担科研项目的教师"，相当于满足 A 但

不满足 B，出现只满足一个条件，用画图法。64%的教师发表核心期刊论文，40%

的教师承担了科研项目，既发表论文又承担科研项目的教师占 40%*90%=36%。所

以只发表核心期刊论文=64%-36%=28%，只承担了科研项目=40%-36%=4%。倍数

=28%/4%=7 倍。【选 B】

【例13】（2016国考）某出版社新招了10名英文、法文和日文方向的外文编

辑，其中既会英文又会日文的小李是唯一掌握一种以上外语的人。在这10人中，

会法文的比会英文的多4人，是会日文人数的两倍。问只会英文的有几人？

A.2 B.0

C.3 D.1

【解析】例 13.问只会英文，用画图法。"既会英文又会日文的小李是唯一

掌握一种以上外语的人"，所以英文和日文之间只有小李一人有交集，法文与英

文、日文没有交集。"会法文的比会英文的多 4人，是会日文人数的两倍"，法文

=英文 4=2*日文，其中 2*日文一定是偶数，则英文 4、法文一定是偶数，4 是偶

数，则英文一定是偶数，只会英文=英文-1，所以只会英文的一定是奇数，排除

A、B 项。剩余两项，剩二代一，代入 D项：只会英文=1，英文=2，法文=英文 4=6，

日文=6/2=3，总人数=1 1 2 6=10，满足题干所有条件，当选。【选 D】

【例14】（2018辽宁）某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演

奏，但有部分同学这2种才艺都不会。具体有4种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，

唱歌和乐器演奏都会，唱歌和乐器演奏都不会。现知会唱歌的有22人，会乐器演

奏的有15人，两种都会的人数是两种都不会的5倍。这个班至多有（ ）人。

A.27 B.30

C.33 D.36

【解析】例 14.题干中已知有四种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和

乐器演奏都会，唱歌和乐器演奏都不会。出现"只会"，用画图法，只会唱歌对

应①，只会乐器对应②，两种都会对应③，两种都不会对应④。"现知会唱歌的

有 22 人，会乐器演奏的有 15 人，两种都会的人数是两种都不会的 5倍"，设两

种都不会的为 x，则两种都会的为 5x，代入两集合公式，A B-A∩B=总数-都不，

22 15-5x=总数-x，37-4x=总数，总数要尽量多，37 是定值，则 4x 要尽可能少。

当 x 取 0时不满足有 4 种情况，所以 x最小取 1，此时总数=37-4x=37-4=33 人，

对应 C项。【选 C】

【注意】

1.这节课你学会了吗？容斥原理梳理：

（1）公式：

①两集合：A B-A∩B=总-都不。

②三集合：

a.标准型：A B C-A∩B-A∩C-B∩C A∩B∩C=总-都不。

b.非标准型：A B C-满足两个条件-满足三个条件*2=总-都不。

（2）画图：出现只满足某一个条件（或者出现满足 A 但不满足 B）用画图

法，画图的目的是梳理各个量之间的关系。

【答案汇总】1-5：CABEA；6-10：BCDAB；11-14：CBDC

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