初中数学教学二元一次不等式 初中数学一元一次不等式与不等式组知识拓展与提高

本节要点：

1、一元一次不等式（组）及其相关概念；

2、不等式的性质、一元一次不等式（组）的解法及其解集的几何表示；

3、利用一元一次不等式分析，解决实际问题；

4、一元一次不等式与不等式组知识拓展与提高 .

考点链接：

本章内容是中考必考内容，主要考查一元一次不等式（组）的解法，利用一元一次方程（组）解决实际问题，单独命题较简单，常以填空、选择题的形式出现，有时与方程（组），函数知识等综合命题 .

知识巩固：

一、不等式：

1、定义：利用不等号表示大小关系的式子；

2、含有一个未知数，未知数的次数为 1 的不等式，叫做一元一次不等式；

3、在列不等式时，要注意理解文字中的一些关键词的含义；

4、解不等式时，注意确定运算顺序；

5、不等式解集：一般地，一个含未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集；

6、用数轴（通常取向右为正方向）表示不等式解集，应注意：大于向右画，小于向左画，有等号画实心点，无等号画空心点 .

二、不等式的性质：

1、性质1：

不等式两边同时加上（或减去）相等的数或式子，不等号方向不变 ；

若 a > b 那么有 a ± c > b ± c；

2、性质2：

等式两边同时乘（或除）同一个正数，不等号方向不变；

若 a > b，c > 0 那么有 a·c > b·c 或 a÷c > b÷c；

3、性质3：

等式两边同时乘（或除）同一个负数，不等号方向改变；

若 a > b，c < 0 那么有 a·c < b·c 或 a÷c < b÷c；

注：

（1）在运用不等式性质时，等式两边都要参加运算，且是同一种运算；

（2）不等式两边同加或减，乘或除以的数或式子一定是同一个数或同一个式子；

（3）注意性质3，区别于等式，不等式在进行乘除运算时需注意，乘或除以的数或式子的正负问题；

三、解一元一次不等式：（类比一元一次方程解法步骤）

1、移项与合并同类项：

（1）把不等式的一边某项变号后移到另一边的过程叫做移项；

（2）移项的依据：不等式的基本性质；

（3）移项的作用：通过移项使含未知数的项和常数项分别位于等式左右两边，

使不等式更接近 x > 或 < a（a为常数）的形式；

（4）合并同类项的依据：乘法分配律；

（5）合并同类项的作用：是一种恒等变形，起到“化简”的作用，使不等式变的更简单 .

2、去括号与去分母：

（1）去分母：在不等式两边各乘以分母的最小公倍数（防止漏乘，注意整数项）

（2）去括号：先小后中再大（指括号），

（括号前面是 号，直接去，括号前是 -，括号里面每一项都要变号）

3、化系数为1：不等式两边同时除以未知数前面的系数，注意不等号是否要变化 .

四、一元一次不等式（组）与实际问题：

1、步骤：

审题——设未知数——找不等关系——列不等式（组）——解不等式（组）——检验——答；

2、解决实际问题时，求出不等式的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中找出符合题意的答案 .

知识拓展与提高：

一、三角形中的不等式

（一）三角形三边之间的不等式

1、探求第三边长度的可能值

【例题1】若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是（　　）

A．6 B．3 C．2 D．11

分析：三角形的三边满足两个基本不等式：

（1）两边之和大于第三边；（2）两边之差小于第三边 .

设三角形 ABC 的三边长分别为 a,b,c，则有 |a-c|＜b＜a c .

把第三边的长度设为 x，这样就得到 x 的取值范围，从而确定需要的答案 .

解：设第三边的长度 x，根据题意，得 7-3＜x＜3 7，整理，得 4＜x＜10，

只有 6 满足条件，所以选择 A .

点评：确定第三边的取值范围是解题的关键.

2、寻找存在的三角形

【例题2】下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的（　　）

A．3cm，4cm，8cm

B．8cm，7cm，15cm

C．5cm，5cm，11cm

D．13cm，12cm，20cm

分析：

3 4＜8，不满足两边之和大于第三边，所以 A 不正确；

8 7=15，不满足两边之和大于第三边，所以 B 不正确；

5 5＜11，不满足两边之和大于第三边，所以 C 不正确 .

解：选 D .

点评：熟记三角形存在的条件是解题的关键 .

3、确定差的最大值

【例题3】三角形 ABC 中，三边长分别为 a,b,c，且 b=12，a,c 都是正整数，

设 t = a - c，求 t 的最值 .

分析：解答时，需要分 a＜c 和 a＞c 两种情况加以求解 .

解：因为三角形的第三边长为12，根据三角形三边关系定理，得12＞|a-c|,

当 a＞c 时，12＞a-c , 因为 a,c 都是正整数，所以 a-c ≤ 11，所以 t 有最大值 , 且为11；

当 a＜c 时，12＞-（a-c）,因为a,c都是正整数，所以 a-c ≥ -11，所以 t 有最小值 , 且为 -11.

点评：学会分类的思想是解题的关键 .

4、确定周长为定值的三角形个数

【例题4】三角形 ABC 中，三边长分别为 a,b,c，且 a＞b＞c，若 a, b， c 都是正整数，

三角形 ABC 的周长为 18，求符合条件的三角形个数 .

分析：解答时，要注意三角形三边关系定理应用，及不等式性质的应用和简单枚举法的应用.

解：

因为三角形 ABC 的周长为18，且 a＞b＞c，

所以 a b c=18 , a b c＞3c，

所以 c＜6，因为 c 是正整数，

所以 c=1 或 c=2 或 c=3 或 c=4 或 c=5，

因为 a b=18-c, a＞b,

所以 a b＞2b , 所以18-c＞2b，所以 b＜9 - c/2 ,

因为 a - b＜c , 所以18 - c - b - b＜c , 所以 b＞9 - c，

所以 b 的取值范围是：9 - c＜b＜9 - c/2 ,

当 c=1 时，8＜b＜8.5，因为 b 是正整数，此时无解；

当 c=2 时，7＜b＜8，因为 b 是正整数，此时无解；

当 c=3 时，6＜b＜7.5，因为 b 是正整数，所以 b=7 , 此时 a=8；

当 c=4 时，5＜b＜7， 因为 b 是正整数，所以 b=6 , 此时 a=8；

当 c=5 时，4＜b＜6.5，因为 b 是正整数，所以 b=5 , a=8 或 b=6,a=7,

所以符合条件的三角形一共有 4 个.

点评：准确建立不等式是解题的关键 .

（二）三角形中线段之间的不等式

1、根据垂线段最短确定不等式

【例题5】 如图1，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为 A，D，则下列结论不正确的是（　　）

A．AB＞AD

B．AC＞CD

C．BC＞AC

D．AD BD＞DC

分析：根据直角三角形中，斜边大于任何直角边进行判断.

解：选 D .

点评：熟记直角三角形中，斜边大于任何直角边是解题的关键 .

2、根据三角形的面积是定值确定不等式

【例题6】在 △ABC 中，三边长分别为 a , b , c，且 a ＞ b ＞ c，

若 a, b， c 上的高分别是 h1，h2，h3，则 h1，h2 , h3 之间的大小关系是 .

分析：不妨设三角形 ABC 的面积为 S，根据题意，得

用 S，a , b , c 分别表示 h1，h2，h3，利用 a ＞ b ＞ c，进行推理即可.

解：设三角形 ABC 的面积为 S，根据题意，得

所以 h1 = 2S/a , h2 = 2S/b , h3 = 2S/c ,

因为 a ＞ b , ab ＞ 0 ，

同理可证 h2 ＜ h3，所以 h1，h2，h3 之间的大小关系是 h1 ＜h2 ＜ h3 .

点评：用三角形的面积搭桥，借助不等式的基本性质变形，比较大小是解题的核心要领 .

（三）三角形中角之间的不等式

1、根据外角和内角的关系，确定不等式

【例题7】 如图2，在 △ABC 中，∠A =78°，∠ACD= x°，则 x 不可能的值是（ ）

A. 77° B. 100° C. 80° D. 120°

分析：根据三角形的外角大于任何不相邻的内角，建立起 x＞78 的不等式，接下来的判断就轻松了.

解：选 A .

点评：根据三角形的外角大于任何不相邻的内角，建立不等式是解题的关键 .

2、根据三角形内角和定理，求角的最大值

【例题8】 在 △ABC 中，已知 ∠A ＜∠B＜∠C，且 ∠A ，∠B，∠C 的度数都是正整数，

则 ∠A 的最大值为 .

分析：通过消元法，把不等式转化为一个角的不等式是求解的关键 .

解：

因为 ∠A ＜∠B＜∠C，且 ∠A ，∠B，∠C 的度数都是正整数，

所以 ∠B ≥ ∠A 1，∠C ≥ ∠B 1，

所以 ∠C ≥ ∠A 2，

因为 ∠A ∠B ∠C = 180°，

所以180° ≥ ∠A ∠A 1 ∠A 2，

所以 ∠A ≤ 59°，

所以 ∠A 的最大值为 59°.

点评：注意正整数这个条件的意义是解题的关键 .

二、不等式中的数学思想

1、转化思想

【例题1】 直线 y = kx 3 经过点 A（2，1），则不等式 kx 3 ≥ 0 的解集是（　　）

A．x ≤ 3 B．x ≥ 3 C．x ≥ ﹣3 D．x ≤ 0

分析：解答时，我们的基本思路是：

① 根据点与直线解析式的关系确定 k 的值

把点 A（2，1）代入y = kx 3 中，转化成关于 k 的一元一次方程，解方程可得 k 的值；

② 确定一元一次不等式：

把 k 值代入不等式 kx 3 ≥ 0，把抽象的不等式转化为具体的一元一次不等式；

③ 正确求解，可得解集 .

解：

因为 y = kx 3 经过点 A（2，1），

所以 1 = 2k 3，

解得：k =﹣1，

所以一次函数解析式为：y =﹣x 3，

所以不等式 kx 3 ≥ 0 变形为 ﹣x 3 ≥ 0，

解得：x ≤ 3．

所以选 A．

点评：熟练掌握转化的思想是解题的关键 .

2、数形结合思想

【例题2】如图1，直线 y＝x＋b 与直线 y＝kx＋6 交于点 P(3，5)，

则关于 x 的不等式 x＋b＞kx＋6 的解集是_____________．

分析：不等式的解集实质就是函数自变量的取值范围，当 x＋b = kx＋6 时，自变量的值就是交点坐标横坐标，然后根据解析式确定的不等式，确定自变量取值是从交点开始向右变化取值，还是向左变化取值，从而确定不等式的解集，这里数形结合的思想是要熟练掌握的.

解：因为交点坐标的横坐标为 3，所以不等式 x＋b＞kx＋6 的解集是 x＞3 .

点评：利用数形结合的思想，判断图形的位置，是确定解集的关键 .

【例题3】如图2，将函数 y＝2x＋b（b为常数）的图象位于 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折至其上方后，

所得的折线是函数 y＝|2x＋b|（b为常数）的图象．

若该图象在直线 y＝2 下方的点的横坐标 x 满足 0＜x＜3，则 b 的取值范围为_________．

分析：解答时，把握问题的全面，找到所有的界点，确保所得到的范围全面准确.

首先要确保自变量的范围，令 y = 0 即得到 x = -b/2，根据 x 满足 0 ＜ x ＜ 3 ，

可建立不等式 0＜-b/2 ＜3；

其次要考虑到 x = 0 和 x = 3 时，所对应的函数值的要求，都必须满足大于等于 2，

这样才能保证图象在直线 y ＝ 2 下方的点的横坐标 x 满足 0 ＜ x ＜ 3 ，

这样有建立不等式组，求解不等式组即可.

解：根据题意：列出不等式

所以 b 的范围是 -4 ≤ b ≤ -2 .

点评：充分发挥数形结合思想的威力，结合题意建立不等式组是解题的关键 .

3、一般与特殊思想中，渗透方程思想

【例题4】任取不等式组

的一个整数解，则能使关于 x 的方程：2x＋k = -1 的解为非负数的概率为______．

分析：不等式的特解问题，充分体现了数学中一般与特殊的思想，同时渗透了方程的思想，

是问题显得更丰富多彩，展示了数学的魅力.

解：

其整数解为 k= -2，-1，0，1，2，3．

其中，当 k = -2，-1 时，方程 2x＋k= -1 的解为非负数．

所以所求概率为 P = 2/6 = 1/3 .

点评：利用数学思想确定不等式的特解是解题的一个关键点，

其次利用方程的思想，确定符合题意的方程的解是解题的第二个关键点 .

4、建模思想中，渗透分类思想

【例题5】某商店购买 60 件 A 商品和 30 件 B 商品共用了 1080 元，

购买 50 件 A 商品和 20 件 B 商品共用了 880 元．

（1）A、B 两种商品的单价分别是多少元？

（2）已知该商店购买B商品的件数比购买 A 商品的件数的 2 倍少 4 件，如果需要购买 A、B 两种商品的总件数不少于 32 件，且该商店购买的 A、B 两种商品的总费用不超过 296 元，那么该商店有哪几种购买方案？

分析：

第一问：解答时，需要同学们利用方程组的建模思想来完成求解 .

设 A 种商品的单价为 x 元、B 种商品的单价为 y 元，根据等量关系：

① 购买 60 件 A 商品的钱数 30 件 B 商品的钱数 =1080元，

② 购买 50 件 A 商品的钱数 20 件 B 商品的钱数 = 880 元分别列出方程，联立求解即可 ．

第二问：解答时，需要利用不等式组的建模思想来求解，方案数量，取决于不等式组的整数解的个数.具体思路如下：

设购买 A 商品的件数为 m 件，则购买 B 商品的件数为（2m﹣4）件，根据不等关系：

① 购买 A、B 两种商品的总件数不少于 32 件，

② 购买的 A、B 两种商品的总费用不超过 296 元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而确定不等式组的整数解，借助分类讨论的方法，自然就确定方案．

解：

（1）设 A 种商品的单价为 x 元、B 种商品的单价为 y 元，由题意得：

答：A 种商品的单价为 16 元、B 种商品的单价为 4 元．

（2）设购买 A 商品的件数为 m 件，则购买 B 商品的件数为（2m﹣4）件，

由题意得：

因为 m 是整数，所以 m = 12 或 13，所以有如下两种方案：

方案一：m=12，2m﹣4=20 即购买 A 商品的件数为 12 件，则购买 B 商品的件数为 20 件；

方案二：m=13，2m﹣4=22 即购买 A 商品的件数为 13 件，则购买 B 商品的件数为 22 件．

点评：对于方案问题，同学们可以牢固建立起这样的一个链接：

方案不等式组的整数解，在这种思想的指导下，建立不等式组模型将是解题的关键 .

三、用基本不等式巧求生活中的最值问题

不等式是初中数学学习的重要内容，也是中考重要考点之一，它在探求最值领域也有不凡的表现 .

1、最省钱的购买方式

【例题1】一家游泳馆的游泳收费标准为 30 元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：

例如，购买 A 类会员年卡，一年内游泳 20 次，消费 50 25 × 20 = 550 元，

若一年内在该游泳馆游泳的次数介于 45～55 次之间，则最省钱的方式为 （ ）

A. 购买 A 类会员年卡

B. 购买 B 类会员年卡

C. 购买 C 类会员年卡

D. 不购买会员年卡

分析：假设游泳的次数为 x，分别表示四种购买方式的费用，

然后根据次数的特殊解：45 ≤ x ≤ 55，通过作差比较的方式确定出最省钱的购买方式 .

解：设游泳的次数为 x，则不购买会员卡要支付的费用为 30x 元，

购买 A 类会员卡需要支付的费用为 ( 25x 50 ) 元，

购买 B 类会员卡需要支付的费用为 ( 20x 200 ) 元，

购买 C 类会员卡需要支付的费用为 ( 15x 400 ) 元，

因为会员卡一定是优惠的，所以不购买会员卡一定是支付费用最多的；

因为 ( 25x 50 ) - ( 20x 200 ) = 5x - 150 , 45 ≤ x ≤ 55，

所以 225 ≤ 5x ≤ 275，

所以 225 - 150 ≤ 5x - 150 ≤ 275 - 150 即 75 ≤ 5x - 150 ≤ 125，

所以 5x - 150＞0，所以 ( 25x 50 ) ＞ ( 20x 200 )，

所以 A 类费用比 B 类的高；

因为 ( 20x 200 ) - ( 15x 400 ) = 5x - 200 , 45 ≤ x ≤ 55，

所以 225 ≤ 5x ≤ 275，

所以 225 - 200 ≤ 5x - 200 ≤ 275 - 200 即 25 ≤ 5x - 15 ≤ 75，

所以 5x - 200＞0，所以 ( 20x 200 ) ＞ (15x 400 )，

所以 B 类费用比 C 类的高；

所以最省钱的是购买 C 类，所以选 C .

点评：利用不等式的性质，确定差值的属性是解题的关键 .

2、最高的收视率

【例题2】 电视台为某个广告公司特约播放甲、乙两部连续剧．经调查 , 播放甲连续剧平均每集有收视

观众 20 万人次 , 播放乙连续剧平均每集有收视观众 15 万人次 , 公司要求电视台每周共播放 7 集．

已知电视台每周只能为该公司提供不超过 300 分钟的播放时间 , 并且播放甲连续剧每集需 50 分钟 ,

播放乙连续剧每集需 35 分钟 , 设一周内甲连续剧播 x 集 , 请你用所学知识求电视台每周应播放甲、乙

两部连续剧各多少集 , 才能使得每周收看甲、乙连续剧的观众的人次总和最大 , 并求出这个最大值．

分析：解答时的思路：

① 先用未知数x表示每周甲、乙两种电视剧收看的人数和；

② 根据播放时间建立起不等式；

③ 依据不等式确定人数和的范围，从而确定最值 .

解：设甲连续剧一周内播 x 集 , 则乙连续剧播（7－x）集，

由题意得 50x＋35（7－x）≤ 300，

解得 x ≤ 11/3 ,

因为 x 是整数，

所以 x = 0 , 1 , 2 , 3．

甲，乙两种电视剧的收看人数和为：

20x 15(7-x) = 5x＋105 ,

显然当 x = 3 时，y 有最大值，且为 3×5＋105＝120（万人次）．

答：电视台每周应播放甲连续剧 3 集 , 播放乙连续剧 4 集 , 才能使每周收视观众的人次总和最大 ,

这个最大值是 120 万人次．

点评：注意电视剧的集数是整数，也就是说用不等式的整数解来确定最值，这是解题的关键，

同时必要的生活经验也是解题的基础 .

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