导数基本运算公式（方向导数与梯度）

我们知道偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率。但有的时候我们需要知道函数沿任一指定方向的变化率，这就引出了方向导数的概念。

函数ψ（x，y，z）在点P（x，y，z）沿以P为起始点的某射线l的变化率，称为函数ψ（x，y，z）在点P沿方向l的方向导数，记作

式中cosα，cosβ，cos γ为l的方向余弦，即（cosα，cosβ，cos γ）是与l同方向的单位向量。方向导数的值我们可以写成两个矢量点积的形式，如下

我们把矢量

叫做标量场ψ的梯度，记作gradψ。如果引入一个矢量性算子

此算子称为哈密尔顿算子，则函数ψ的梯度也可以写成▽ψ。

标量函数ψ沿l方向的方向导数就是梯度矢量在l上的投影。当l的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值，此时标量函数ψ增加得最快。l方向与梯度方向垂直时，方向导数为0。当l方向与梯度方向相反时，方向导数取得最小值，此时ψ减小得最快。

函数在一点的梯度是这样一个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。

我们知道，静电场中电位函数ψ的负梯度等于电场强度E，因此电场强度E的方向就是电位ψ减小得最快的方向。

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