最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)

大家好!这节课的内容是一只闯荡几何世界的蚂蚁,经历太多思考追求,这次谈谈勾股定理的应用之空间最短路径问题。

在一个平面内,如果要从A点走到B点,怎么走路线最短呢?你一定会说,太简单了,"两点之间线段最短"嘛!的确如此,超级课堂在之前的视频中也着重强调过这一点。在一个平面内,A点到B点的最短路径就是线段AB。不过我们还会经常遇到另外一种情况,当运动路线不是平面,而是某个几何体的外表面的情况。这种题目被称为"空间最短路径问题",而且都会涉及一只蚂蚁,这只蚂蚁特别的辛苦,一直闯荡于几何世界,按出题老师的意图从一个点爬到另一个点,甚至爬N圈,永不停歇。这节课就带你具体研究一下这类题目的解法。

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(1)

我们先来看一个最简单的例题:

如图,边长为1的正方体中,蚂蚁君从A顶点出发沿着正方体的外表面爬到B顶点的最短路程是 .

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(2)

我蚂蚁君不是超人,不能从立方体中间"穿过",只能沿着立方体外表面运动。对于"空间距离问题",千年不变的解题思想就是:把空间问题转化为平面问题,万年不变的具体操作就是将几何体外表面展开。我们把正方体展开,画出AB点的位置,连接AB。你会发现类似这样的路线一共有6条,我们把正方体的六个面称为上下左右前后,这六条路线的爬行顺序依次是"前上"、"前右"、"左上"、"左后"、"下右"或"下后"。但这六条路线的长度都是一样的,展开后,都是这么一个矩形的对角线。利用勾股定理,求得长度为√5,所以蚂蚁从A到B爬行的最短距离是√5。

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(3)

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(4)

路途坎坷,经历不都是方方正正,苦逼蚂蚁君又经历如下历程的磨难:

1.(2018秋•锦江区期中)边长分别为4cm,3cm两正方体如图放置,点PEF₁上,且EP=1/3E₁F₁,苦逼蚂蚁君如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P,需要爬行的最短距离是____ cm

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(5)

求出两种展开图PA的值,比较即可判断,如图,有两种展开方法:

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(6)

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(7)

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(8)

2.如图所示,一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成3×3个小正方形,其边长都为1cm,假设苦逼蚂蚁君从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最少要爬______ cm

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(9)

把此正方体的点A所在的面展开,然后在平面内,利用勾股定理求点AB点间的线段长,即可得到蚂蚁爬行的最短距离.在直角三角形中,一条直角边长等于5,另一条直角边长等于2,利用勾股定理可求得.

因为爬行路径不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线.

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(10)

所以最短路径长为5cm,故答案为:5.

除了正方体的表面距离问题,圆柱体的表面距离问题也是很常见的. 比如:

3. 如图,一圆柱高8cm,底面半径为6/πcm,又是苦逼蚂蚁君从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是多少?

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(11)

同样的方法,将圆柱体外表面展开是一个长方形。它的宽是圆柱体的高8cm。长是底面圆的周长12cm。沿圆柱表面运动就相当于沿这个长方形表面运动,连接AB,就是我们要求的长度。而右上角的B点恰好是边的中点,AD=6cmBD=8cm,在Rt△ADB通过勾股定理就能马上算出最短距离AD=10 cm.

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(12)

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(13)

4.(2018秋•宝安区期中)如图,已知圆柱的底面周长为6,高AB=3,苦逼蚂蚁君在圆柱表面爬行,从C点爬到对面的A点,然后再沿另一面爬回C点,则苦逼蚂蚁君爬行的最短路程为 _______.

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(14)

把圆柱侧面展开,展开图如右图所示,点AC的最短距离为线段AC的长.在RTADC中,∠ADC=90°,CDAB=3,AD为底面半圆弧长,AD=3,所以AC=3√2,∴从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为2AC=6√2,

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(15)

5. (2018秋•金牛区校级期中) 如图,圆柱形容器高为6cm,底面周长为6cm,在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜,此时苦逼蚂蚁君正好在杯外壁,在甜蜜回忆基础上,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,苦逼蚂蚁君很想从外壁A处到达内壁B处的以最短距离达到,则最短距离为 ______.

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(16)

将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求.将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′,连接AB,则AB即为最短距离,

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(17)

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(18)

总结一下,求空间最短路径长度的解决步骤:第一步确定最短路径,方法是将运动所经过的外表面展开,最短路径就是在展开平面内两点间的线段;第二步求线段长度,方法是利用勾股定理求斜边。

刚才我们说过了立方体表面的最短路径问题,它的六种路线是完全一样的。下面我们把立方体换成棱长不等的长方体,这时情况会变得稍稍复杂一些,比如这道题:

6.如图,地上放着一个长、宽、高分别为50cm、40cm、30cm的箱子,位于角A处的苦逼蚂蚁君发现了位于角B处的一只苍蝇,问苦逼蚂蚁君沿着箱面怎样爬才能使它到B处的路程最短,最短路程是多少?

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(19)

与立方体一样,苦逼蚂蚁君同样有六种路线:"前上"、"前右"、"左上"、"左后"、"下右"或"下后",每种选择都要经过两个长方形。但题目并没有指定选 择哪种路线,而长、宽、高又各不相等,所以这六种路线的长度就不再相等了。由于长方体相对的面全等,于是我们可以把这六种路线分成三类:"前上"与"下后"一类, "前右"与"左后"一类,"左上"与"下右"一类, 比较这三类的结果,这种选择的路程最短,

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(20)

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(21)

7.(2018秋•新吴区校级期中)在一个长为8分米,宽为5分米,高为7分米的长方体上,截去一个长为6分米,宽为5分米,深为2分米的长方体后,得到一个如图所示的几何体.苦逼蚂蚁君要从该几何体的顶点A处,沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是 _____分米.

根据题意把图形的侧面展开,如图所示,利用勾股定理求解即可.

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(22)

以上几个例子,在表面走的距离都不够长,如果在绕表面运动不止一圈的话又会是什么情况呢?蚂蚁君已经被玩坏了,让它休息一下,这次我们在几何体表面缠绕细线。

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(23)

8.如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要______ cm;如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要______ cm

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(24)

仔细想想,这根细线的总长度其实就是A和B的空间最短路径长度。所以我们依然要把长方体的侧面展开。由于题目已经指定了路线选择:前右后左,所以展开图中长方形的形状就是固定的。这是绕了一圈的情况,那么绕了n圈的展开图该怎么画呢?我们可以找找规律:如果只绕1圈,展开图就是4个长方形,一边长就是3 1 3 1,8cm;如果绕2圈,那么会经历两次"前右后左"的过程,所以展开图就是8个长方形,一边长就是16cm……绕n圈就是经历n次"前右后左"的过程,展开图就是4n个长方形,一边长就是8ncm。就像图中这样的一个很长很长的长方形。

将长方体展开,连接AB,根据两点之间线段最短,

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(25)

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(26)

有了前面的基础,我们最后再来解决一个平面与空间结合的最短路径问题,让蚂蚁君继续上场:

9.(2018秋•三明期末)如图,ABCD是长方形地面,长AB=10m,宽AD=5m,中间竖有一堵砖墙高MN=1m.蚂蚁君从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵墙,则它至少要走_____ m

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(27)

我们可以把这个木条看成矩形场地凸起的一段。蚂蚁会经过长方体的三个侧面,我们便把这三个侧面展开,相当于矩形场地ABCD的长AB被"拉伸"了一部分,拉伸的长度就是三个侧面长方形的宽。

连接AC,利用勾股定理求出AC的长,再把中间的墙平面展开,使原来的矩形长度增加而宽度不变,求出新矩形的对角线长即可.

如图所示,将图展开,图形长度增加2MN

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(28)

原图长度增加2米,则AB=10 2=12m

连接AC,∵四边形ABCD是长方形,AB=12m,宽AD=5m

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(29)

∴蚂蚱从A点爬到C点,它至少要走13m的路程.

故答案为:13.

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(30)

10.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为5dm,3dm,和1dm,蚂蚁君想尝试上台阶寻找美味,想从点A,想到点B去吃食物,请你计算,这只蚂蚁从点A爬到点B走得最短路程是多少?

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(31)

有了上面经验,将台阶展开得到的是一个矩形,蚂蚁君要从B点到A点的最短距离,便是矩形的对角线,利用勾股定理即可解出答案.

将台阶展开,如图,因为AC=3×3 1×3=12,BC=5,所以AB²=AC² BC²=169,所以AB=13(dm),所以蚂蚁爬行的最短线路为13dm

你看,只要你清楚空间最短路径问题的解决方法,遇到这种看似复杂的平面、空间混合问题也可以轻松搞定了。无论题型怎么变化,你只要记住把几何体表面展开,化空间为平面就能秒杀任何题目了。

最大公约数培优(一只很励志的蚂蚁)(32)

这节课就讲到这里,我们来总结一下,主要研究了空间最短路径的解决思想:把空间问题转化为平面问题,具体操作就是将几何体外表面展开。求最短路径的方法是利用勾股定理求斜边。

在题目中要注意以下三点:

1、遇到长方体表面的最短路径问题时,如果题目没有指定路线的选择,要注意分类讨论;

2、如果沿几何体表面运动n圈,相当于经历n次循环,展开图中的长要扩大为n倍;

3、平面、空间的混合问题只需要把经历的几何体表面展开,与平面连接在一起便可以轻松解决。

立体图形的蚂蚁爬行问题,这课堂已经把考试会遇到的几种情况都讲解完毕了。以后你再遇到这种题目,就能完全理解蚂蚁的心思,迅速找到解题的方法,爬到胜利的终点!

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