数学差集和补集（数集点集与数列）

#创作挑战赛#

老黄探究高等数学，一直要用到这几个概念，数集、点集、数列、和点列，感觉有点乱。因此，老黄要明确一下这四个概念的区别和联系，才会使高数的内容更加清晰。老黄在网上并没有找到这四个概念比较系统的介绍，甚至各家都有各家的说法，并不统一，老黄对此进行了整理，其中也难免有老黄自己一家之言，老黄和大家一样，都要学会批判接受哦。

数集，简言之，就是数的集合，它是集合的一种，因此继承了集合的一切性质。具体指的是具有某种特定性质的具体的或抽象的数汇总成的集体。包含有限数集和无限数集，有界数集和无界数集。

具体的数集比如一切复数构成的集合称为复数集，还有虚数集、实数集，这是复数集的两个子集；正实数集，负实数集，非正实数集(就是负实数集和0的集合)，非负实数集(则是正实数集和0的集合)；无理数集和有理数集，构成实数集；分数集和整数集，构成有理数集；正整数集、自然数集，还有以2的正整数幂数集等。

以上这些都是无限且无界的数集。而由一个数字构成的集合，也是一个数集，它是有限且有界的数集。{1}也可以称为复数集，实数集，正实数集，自然数集等，这里指的是元素的性质。另外，空集也是一个数集。

数集具有如下的性质：

1、它的元素是确定的。要么属于这个数集，要么不属于这个数集，不存在既属于也不属于，或者有时属于有时不属于的情况。对于这点，老黄最近觉得有点值得怀疑，老黄更愿意相信，宏观上是有确定性的，但微观上，却是不确定的。比如一个半径无限小的邻域上的所有数所构成的数集，你就无法确定某些数，是否包含于这个数集。但由于权威说有确定性，所以老黄这里就保持有确定性的标志。

2、元素有互异性，不存在重复的元素，这点倒是勿庸置疑的。

3、元素之间并没有排序，所以有无序性。交换元素的位置，不改变集合的实质，比如{1,2}1和{2,1}是同一个数集。

点集，简言之，就是点的集合，也是集合的一种，同样有集合的一切性质。另外，点集其实还包含各种维度的点形成的集合，在没有特别指明的时候，默认点集为一维点集，就是实数轴上的点构成的集合。同样的，点集也有有限点集和无限点集之分，如果说它是有界的或是无界的，其实就与数集混为一谈了，但这种混为一谈是允许的。因为实数和数轴上的点是一一对应的。

另外，平面直角坐标系上的二维点集则与实数对一一对应；复平面上的二维点集就和复数对一一对应；极坐标平面上的二维点集和极坐标一一对应等。包括空间坐标系上的三维点集和三维坐标，也是一一对应的。如果你喜欢的话，还可以把不同维度的点混在一起研究，数学探究，应该鼓励放飞思维的翅膀。

点集的性质和数集的性质非常接近，包括位置的确定性，同样的，对微观的数学世界，老黄抱怀疑态度；坐标有互异性，相同的坐标表示同一个点；还有点的无序性。

数列，是以正整数为定义域的函数，它是一列有序的数。可以把数列看作是数集的元素按一定的顺序排列形成的，而且这些元素是可重复的。

比如复数列，因为复数并没有统一的比较大小的标准，所以这里只表示数列的性质，它是由一系列的复数按一定的顺序排列形成的。实数列，正实数列，负实数列，包括有理数列，分数列等，这些会存在一定的争论，但老黄觉得，它们有比较大小的统一标准，所以是可以自然形成数列的形式。整数列，正整数列，自然数列，由同一个常数组成的常数列等，这些就比较常见。这些数列的名称，也可以用来表示数列中各项的数的性质。

还有与各项间关系有关的等差数列，等比数列，以及一些特定的数列，如正方形数列就是完全平方数数列；立方体数列就是完全立方数数列；以及以人名命名的，斐波那契数列又称黄金分割数列，卡特兰数列等。包括所有数学家都渴望破解的质数列。以及一切可以用通项的形式表示的数列等。

但需要注意的是，不是所有数列都可以用通项公式的形式表示的。除了数字排列杂乱无章的数列，还有象实数列这种，虽然从小到大排列，却无法用通项表示的数列，只能用一个字母R来表示。

另外，数列也包含有限数列和无限数列，在没有特别指明的，且不致造成误会的情况下，通常说的“数列”指的是无限数列。另外也有有界数列和无界数列之分。而且它还可能有单调性，交错性等特性。

在与数集的对比一下。数列的项在宏观上是确定的，但在微观上是不确定的。比如，在实数列中，你无法确定第1项是什么，第n项是什么，就算是自然数列，你也无法确定在n趋于无穷大时，这个项是什么。这是老黄的说法，你也可以认为，它的项是确定的。这只是理解的问题。和数集最关键的不同是，数列是没有互异性的，它可以有重复的项，最典型的是常数列，所有的项都是一样的。而且数列的项是有序，而数集的元素是无序的。改变数列的任何项的位置，都会改变数列的实质，得到一个新的数列。

最后是点列，可以认为，点列是点集的元素按一定的顺序排列而成的，而且点列的点也是可重复的。对应的，也有一维点列，二维点列和三维点列等，默认情况下，指的是一维点列。

一维点列的所有点分布在数轴上，数轴就是点列的底，点列同样有无限点列和有限点列之分。

宏观的点，你可以确定，但微观的点，你是确定不了的。和数列一样，它的点是可重复的，甚至可以由无限相同的点构成一个点列。有些人说，点列的点不可重复，但可重复的点列，更方便高数的探究。另外，点列也是有序的。任意点的位置，发生改变，点列的实质都会随之发生改变。听起来怪怪的，不过的确是可以理解的，即点列的顺序与这些点所表示的数在数轴上的顺序，不一定相同。之所以会觉得有点难理解，是因为大家关注的更多的是x轴上的点，如果是y轴上的点，即函数表示的点列，其顺序与这些点所给示的数在数轴上顺序不同，就很好理解了。

在这四个概念的基础上，我们来看它们的映射关系，这样它们的规律对比的整齐会更好。

数集和点集是一一对应的映射关系；

数集和数列是一对多的映射关系。因为重复数集的任意元素，或者改变任何元素的位置，都会得到不同的数列；

点集和点列也是一对多的映射关系，理由同上；

最后数列和点列也有一一对应的映射关系。假如点列的点不能重复，那么数列和点列就会形成多对一的映射关系，从而造成四者的关系变得更加复杂。

回到实数的完备性的知识。我们定义，在一个数a的任一邻域内都含有数列或者点列{xn}的无限多个项或点，就称a是列数或点列{xn}的一个聚点。

与数集或点集的聚点在定义上的区别主要是，点列或数列的聚点邻域上可以包含无限个相同的项，或点，而点集或数集的聚点邻域中，只能包含无限个不同的元素。老黄这整讲的内容，就完了解释最后这句话服务的。想像一下，如果老黄不花这么多时间去厘清四者的关系，最后这个数列(点列)聚点的定义，将变得特别难理解。你觉得呢！