数学的发现和发明（数学是发现还是发明）

参考文献：

• MarioLivio. 数学沉思录:古今数学思想的发展与演变[M]. 人民邮电出版社, 2010.
• J.F.斯科特, 斯科特, 侯德润,等. 数学史[M]. 译林出版社, 2012.

数学是发现还是发明？

布莱克—斯科尔斯（Black—Scholes）期权定价模型（1973）为其赢得了诺贝尔经济学奖[授予了迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）和罗伯特·卡哈特·默顿（Robert Carhart Merton），费歇尔·布莱克（Fischer Black）在获奖前就已经去世了]。

该模型中的关键平衡等式能帮助我们理解确定未来某个特定日期股票的价格，并以此价格买入或卖出股票。该模型的核心是布朗运动，布朗运动描述了微粒的不规则、无休止的运动状态，它可以通过水中悬浮的花粉粒子和空气中烟尘粒子的运动观察到。它被物理学家研究了几十年了。同样的方程式也可以在星团里无数个星体运动中观察到。这是不是有点像《爱丽丝梦游仙境》（Alice In Wonderland）中所说的“神奇啊，太神奇了”？不管宇宙如何运行，毕竟商业和经济显然是人类思维所主导创造的世界。然而两个不同的世界却因为数学产生了联系。

再来看一个在电路板制造或计算机设计中常见的问题：要利用激光在电路板上钻出数以万计的小孔。然而设计人员不希望钻孔行为是一种随机行为，就像“随意游客”，因为这样成本太高。他们希望能在钻孔前找出最短的“路径”：每个孔都将被“光顾”到，且只“光顾”一次。

其实，从上个世纪开始 20 年代起，数学家们就开始研究类似的“旅行商问题”了。就是假设有一位商人，或者是一位参加竞选的人，想要以一种最经济的方式访问给定数量的所有城市，其中任意两座城市之间旅行的花费是已知的。因此，他的问题就是如何找到一条能将所有城市都访问完、并且最后要回到原始出发点的、最便宜的那条路线。1954 年，美国人给出了 49 个城市的“旅行商问题”解决方案，2004 年瑞典人给出了 24978 个城市的解决方案。今天，电子工业、物流公司发送包裹，甚至日本弹珠盘游戏机（与弹珠类似，需要击打数千次手指）的制造都依赖于这个问题的答案。

另外，值得注意的是，数学还进入了一些传统上与之联系并不十分紧密的学科领域。例如，社会学；其中，通过数学工具来研究和分析复杂的社会结构、组织和非正式群体。包括预测公众观点的数学模型、预测社会群体中某些交互行为的数学模型，等等。

还有，人文学科。计算机语言学起初只涉及计算机科学家，但今天它已经发展为一门跨学科的研究领域，它把语言学家、认知心理学家、逻辑学家以及人工智能专家集中在一起，共同研究自然进化语言的复杂性。就像个恶作剧：人类所有试图领会和理解世界奥秘的努力，最终却带领我们发现了越来越精细复杂的数学领域，而这些领域正是宇宙，甚至人类所有行为的基础。

难道数学就是教育工作者所谓的秘籍吗？（为了防止“教会徒弟，饿死师傅”，老师通常会把书上的知识藏起来一部分不教给学生，这样老师就总显得比学生高明。）或者，借用圣经上的一个隐喻：数学是智慧之树结出的最终果实吗？

数学无理由的有效性产生了许多有趣的问题：数学是一种完全独立于人类思维的存在吗？

就像天文学家们发现先前未被人类所观察到的星系那样，我们是否只是发现了本已存在的数学真理？若不是，难道数学只是人类的发明吗？

如果数学真实存在于某个抽象的世界中，那么这个神秘的世界与物理现实世界之间是什么关系呢？是如同康德说个那个人类无法可知的“物自体”一样的世界吗？只是拥有有限知识的人类如何才能超越时空限制进入这个永恒不变的神秘殿堂？另一方面，假如数学仅仅是人类的发明，并且只存在于人类意识中，那么我们又如何解释，发明出来的这么多数学真理怎么会如神迹般地准确预言了几十年后，甚至是几百年之后才出现的宇宙和人类生活中的某些问题呢？例如，相对论、万有引力、量子力学等等。这些问题并不像表面上看到的那么简单。

质数（仅能被 1 和自己整除的数）组成的世界，远比我们周围的物质世界稳定。数学家的工作可以与探险家发现的世界相媲美。他们都是从经历中发现基本事实的。举例来说，通过简单的计算，我们发现质数的序列似乎永无穷尽。那么，数学家的任务就是证明存在无穷多的质数，当然这是欧几里得提出的一个古老结论。这个论证中最有趣的一个推论就是，如果某一天有人宣称他发现了最大的质数，很容易就能证明他是错的。对任何其他论证来说同样如此。由此可见，我们面对的数学如同物理现实一样无可争议。著名的多产数学科普作家马丁·加德纳（Martin Gardner）支持“数学是一种发现”的观点。对他来说，无论人类认识与否，数字及数学都是独立于人类认知存在的，这一点毫无疑问。他说：

如果森林中有两只恐龙与另外两只恐龙相遇，不管周围是否有人类在观察，那儿都会有 4 只恐龙。但是愚蠢的熊却不会知道。

正如孔涅强调的，“数学是一种发现”的观点（这也是柏拉图的看法）的支持者认为，一旦人们理解了某个数学概念，如自然数 1, 2, 3, 4…，那么就会面临一些无可争议的事实，比如 32 42＝52，这与人们如何看待它们之间的联系无关。这至少给我们留下一种印象，我们接触的是已经存在的真实世界。

不过，不少人持相反的观点：“通过理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人类创造了数学。”语言学家乔治·莱考夫（George Lakoff）和物理学家拉斐尔·努涅斯（Rafael Núñez）也持同样的观点。在他们合著的《数学从哪里来》（Where Mathematics Comes From）一书中，他们总结道：“数学是人类天性的一部分，它源于我们的身体、大脑以及我们在这个世界中每天的经历。”更让人不好受的是中间分子，比如阿蒂亚、莱考夫和努涅斯的观点。他们问到：“如果数学完全是人类发明的话，它真的具有普遍性吗？”

想象一下，如果外星文明真的存在的话，它们是否也会发明出与我们相同的数学呢？卡尔·萨根（Carl Sagan，1934—1996）过去认为答案是肯定的。在他的《宇宙》（Cosmos）一书中，当探讨智能文明会将哪种讯息传播到外空间时，他提出：“任何自然的物理进程都不可能在传播无线信息时只包括质数。假设接收到这样的信息，我们就能推断出那里存在至少喜欢质数的文明。”

在新书《一门新科学》（A New Kind of Science）中，数学物理学家史蒂芬·沃尔夫拉姆（Stephen Wolfram）认为这种称为“人类的数学”的智慧，也许仅代表从数学之树上开放的、众多不同的“花朵”中的一朵。例如，如果不使用基于数学公式的法则来描述自然的话，人类也可以使用其他不同类型的法则（比如，在简单的计算机程序中所体现的法则）。另外，一些宇宙学家们最近已经开始讨论我们身处的宇宙可能是多元宇宙（众多宇宙的集合体）的一个组成部分。如果这种多元宇宙真实存在的话，其他宇宙空间中所发展出的数学能与我们的数学一致吗？

更好玩的是捣乱分子，有一些分子生物学家和认知学家基于大脑功能的研究提出了另外一种观点：数学同语言区别不大。换句话说，基于这种“认知”，人类在注意自己的双手、双眼、两胸无数世代后，数字“2”的抽象定义慢慢形成。同样，“鸟”这个字的概念也是这样形成的——人们逐渐认识到这个字代表有两只翅膀、并且能够飞起来的动物。正如法国神经系统学家让皮埃尔·尚热（Jean-Pierre Changeux）所说的：“对我而言，公理法（例如欧几里得几何学就是建立在几条公理之上的）就是与使用大脑相关联的理性能力的表现。”

但是，如果数学算另外一种语言的话，我们又如何解释孩子们在学习语言时会相对比较轻松，但其中相当一部分在学习数学时却倍感吃力呢？苏格兰天才儿童马乔里·弗莱明（Marjory Fleming，1803—1811）就用一种极为无奈的语气描述了她在面对数学时的那种痛苦。弗莱明不到 9 岁就夭折了，在她的日记中留下 9 000 多字的散文和 500 多行的诗歌。在一篇日记中她曾抱怨道：

我要告诉你的是乘法表带给了我无尽的痛苦和烦恼，你可能难以想象。最难对付的就是 8 乘 8 和 7 乘 7，这真是让人无法忍受。

那么，为什么数学会表现出一种不可思议的逻辑性和自相一致性，而这些特征是其他任何一种人类创造都不具备的？以欧几里得几何学为例，虽然它是在公元前 300 年创立的，但直到目前，它依然是正确的（当然要看它的应用领域），它表达的某些“真理”现在仍然被遵守。当然，一方面，在科学研究的各领域中，很少会出现继续沿用 300 年前的思想和概念的情形；另一方面，最新的数学研究可能会参考去年甚至上周才发表的数学定理，但是也有可能引用公元前 250 年阿基米德所证明的球表面积公式。

要知道！19 世纪的原子结构模型的理论仅仅存在了 20 年就被抛弃了，那是因为有新的发现证明该理论基本原理有错误，这也是大多数科学研究发展的一般过程。

正如赫尔曼·汉克尔所说：“在大多数科学领域，一代人总是摧毁上一代人所构建的东西，一代人所确立的东西总是被下一代人所毁灭。只有在数学领域，每代人都是在老建筑之上构建新楼层。”

尽管用来证明某些结论的形式已经改变了，但是数学结论本身却始终没有什么差别。事实上，正如数学家及作家伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）曾经指出的：“在数学领域里，谬误一词表示先前以为是正确的、而后来却发现有错误并被纠正的结论。”并且它们之所以被证明是谬误的结论，也不是因为在其他学科领域有了新的发现，而是通过更仔细、更严格地参考那些同样古老的数学真理才被证实的。

难道数学真的是上帝的语言吗？

其实，发现和发明的区别是清楚的：没有人会说莎士比亚发现了哈姆雷特（GJ除外），或者说居里夫人发明了镭。针对特定类型疾病的新药通常被看做是发现，尽管它们通常涉及新化学成分的合成。

一个非常典型的数学例子，相信它不仅能帮助我们区分发明和发现，在欧几里得关于几何学的不朽名著《几何原本》第 6 卷中，我们发现有一个定义是把一根直线确定地分为不等的两段，这种比例都称为“极端平均比例”。在 19 世纪时，这一比例被叫做“黄金分割率”，事实上后者要比前者更加有名。

黄金分割率可用一个非常简单的代数表达式表示

为什么欧几里得要这么费事地定义这样一条特殊的线段，并且还专门给这个比例起一个固定的名字？毕竟，可以有无数种方式来分割一条线段。这个问题可以在继承自神秘的毕达哥拉斯学派和柏拉图学派的文化中找到答案。毕达哥拉斯学派曾经痴迷于数字的研究。他们认为奇数代表男性和善，而同时略带偏见地认为偶数代表女性和恶。他们对数学 5 有特殊的兴趣，5 是 2 和 3 的和，3 是第一个奇数（男性），2 是第一个偶数（女性）。（1 并没有被认为是一个数字，它被当做所有数字的源头。）因此，在毕达哥拉斯学派眼中，5 是爱情和婚姻的化身，并且还用五角星作为他们之间兄弟情谊的象征。这也是黄金分割率第一次在历史上出现。

一个正五角星，其中三角形任意一长边与底边的比值恰好等于黄金分割比率

在毕达哥拉斯之后，柏拉图又为黄金分割赋予了新的意义。古希腊人相信宇宙中的所有物质都是由 4 种基本元素组成：土、火、空气和水。在柏拉图对话录的《蒂迈斯》（Timaeus）中，柏拉图用 5 种符合对称规则的立体来解释物质的结构，它们通常被称为柏拉图立体（platonic solids）。这 5 种凸面立体是正四面体、立方体（正六面体）、正八面体、正十二面体和正二十面体，这些立体也是仅有的各面都是正多边形、面积都相等的立体（当然是针对每一个单独的立体而言），并且这些多面体每个面的所有顶点都在立体的表面。

柏拉图认为土是立方体，火是正四面体，气是正八面体，水是正二十面体

没错，毕达哥拉斯学派及其后来者发现了特定几何图形的构成方式。在欧几里得时代的两千年之后，德国天文学家约翰尼斯·开普勒发现在斐波那契数列中，黄金分割比率竟然也神秘地出现了。斐波那契数列是指数字序列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233……，从第 3 个数字开始，数列中每一个数字都是它之前的两个数字之和（例如，2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3，等等）。如果用这个数列中的一个数除以它前面的那个数（例如，144÷89，233÷144），其结果值在黄金分割比率值附近振荡，并且随着数列的延续，这个商也会越来越接近黄金分割比率值。

取小数点之后 6 位的话，可以得到如下的结果：144÷89＝1.617 978，233÷144＝1.618 0，377÷233＝1.618 026……

在此之后不久，人们观察发现，在一些植物的叶片排列分布（专业术语叫叶序）和部分铝合金晶体结构中，都有斐波那契数列以及与其相伴的黄金分割比率的影子。

一般情况下，概念是发明的。例如，质数是作为一个基本概念被数学家发明的，但是关于质数的相关定理却是人们发现的。

中国，尽管当时的数学家们已经发展出了非常先进的数学理论，但他们从来没有提出过质数的概念。我们能说他们只是没有“发现”质数吗？这种说法与我们说大英帝国没有“发现”唯一的、汇编成法典的宪章完全类似！正如一个国家在没有宪法时也能正常运转一样，没有质数的概念，复杂的数学也能不断发展，并且在历史上数学的确也是这样发展的。

综上所述，数学就像是我们的眼睛，它一直在那里，我们一直在用它看世界，但是我们大部分时间并不需要使用概念中的“眼睛"。所以，数学是发明和发现的结合物！作为一种概念，欧几里得几何学中的公理是发明的，正如国际象棋的行棋规则是人类的发明一样。公理又被人类研究发明的概念不断补充，诸如三角形、平行四边形、椭圆、黄金分割比率等。然而，在另一方面，欧几里得几何学中的定理，从总体而言却又都是发现，它们是连接不同概念的桥梁。在某些情况下，证明产生了定理，即数学家研究什么是他们能证明的，并从中总结推演出定理。