高中数学定值问题方法（利用化归思想解题）

化归思想就是转化和归结的思想，是数学学科一种特有的数学思想方法，化归思想的核心是对未解决的问题作等价与非等价转化，我们平时解题的过程实质上就是一个缩小已知与求解差异的过程，一个生题变熟题的过程。因此，解每一道题，无论是难题还是易题，都离不开化归，平常所见的化归有空间向平面化归，多元向少元化归，高次向低次化归，复杂向简单化归，一般向特殊化归，隐性向显性化归等等，达到化繁为简，化难为易，变正面强攻为侧翼进击，从而找到有效解决问题的方法。

一、化空间为平面

例1、如图1，在正三棱锥S—ABC中，∠ASB＝40°，M、N分别是SB、SC上的点，若SA＝3，求AM＋MN＋NA的最小值。

解：M、N是SB、SC上的任意点，AM—MN—NA在多面体的表面，是空间首尾相连的折线，若把正三棱锥的侧面沿SA“剪开”，把三个侧面展开在同一个平面内，如图2，则M、N的位置是当AM—MN—NA成一直线时AM＋MN＋NA最小，根据余弦定理可求得其最小值为

小结：化空间为平面，是指把空间问题转化为平面问题加以解决的一种数学思想。运用此思想，我们通常采用把“折线拉成直线，曲面展成平面”的方法，巧求空间图形表面上两点间的最短距离。

二、化高次为低次

例2、已知函数

在

处取得极值。讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值。

解：

依题意，

即

解得

所以

令

得

若

则

，故f(x)在

上是增函数。

若

则

故f(x)在（－1，1）上是减函数。

所以，

是极大值；

是极小值。

小结：本题通过求导，把三次函数转化成了同学们熟悉的二次函数。主要运用了函数极值的概念，运用导数研究函数性质，意在考查同学们分析问题和解决问题的能力。

三、化复杂为简单

例3、对于所有实数x，不等式

恒成立，求a的取值范围。

解：设

则

于是问题转化为不等式

恒成立，求a的范围，这是一个熟悉的含参数的不等式问题。

由于不等式对所有实数x恒成立，则其充要条件是

解得

即

解得

小结：数学问题在处理中，如果感到困难且问题复杂棘手，可转化问题的结构形状，化归为一个相对简单，便于处理的问题。如本例不等式的系数比较复杂，我们采用了换元的办法，转化成了一个一元二次不等式问题，起到了化复杂为简单的效果。

四、化一般为特殊

例4、已知

，是否存在常数c，使得不等式

恒成立？试证明你的结论。

解：我们可利用特殊化的思想，考虑不等式等号成立的条件，只要令

，可得

于是可以考虑取

下面先证：

由

即只要证明

恒成立。

同理可证

成立。故存在

使不等式恒成立。

小结：当一个一般问题不易解决时，人们首先想到将问题简化，化成一个特殊问题，而特殊问题像一把钥匙，一面镜子，可以为我们解决问题提供一臂之力，为探索解题途径提供线索和积累经验，并成为解决问题的突破口。

五、化隐性为显性

例5、解不等式

解：不等式可化为

得

解得

小结：此题巧妙地运用了双曲线的定义，将隐性的，需要解决的不等式问题向显性的、熟悉的问题转化，通常用到的有数与形、方程与函数等观念的转化，以期在熟悉的背景下，利用熟悉的方法，获得数学问题的解决。

六、化多元为少元

例6、在锐角△ABC中，若

求证：

证明：由

得

所以

所以

所以

把已知条件代入转化为

的关系得：

为求

需两边同除以

得：

用

代换可得：

即

小结：本题题设条件中有6个字母A、B、C而求证中只有3个字母，因此，解题的过程实际上就是把6个字母化归为3个字母的过程。

综上所述，在数学解题时，我们应该设想有一个与此相关的问题，并将其化归成一个相对简单，便于处理的熟悉的问题来解决，但是不能死记“招式”，生搬硬套。这种方法的实现需要我们对题设条件与结论的再处理，需要我们在平时的学习中不断地加以积累，充分发挥自己的想象力与创造力。

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▍ 编辑：Wulibang（ID：2820092099）

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