正弦定理牛顿 牛顿正弦及余弦级数

不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数。

完成所要求运算的最简便方法是运用正弦级数及余弦级数。对于sin x和cos x的级数最早见于牛顿的论文。文中出现的正弦级数被转换成现在非常难得研究的反正弦级数。

此处介绍的正弦级数及余弦级数的推导，是以区间0到x上函数sin x和cos x的平均值为基础的（以下提及的所有角度均以弧度计）。

函数sin x在区间0到x上的平均值M就是商

当n为无限增大的正整数时的极限值，式中δ表示x的1/n

但是这个商的分子具有值

式中m为n个自变量δ，2δ，…，nδ的算术平均值，也就是

至此可以很容易得到sin x及cos x的级数。仍从不等式cos x < 1

开始，求得两端的平均值，则有

等等。这些不等式右边的有理数函数即为函数sin x及cos x的第一，二，三，…，v次近似值。称其为近似值是因为三角函数的精确值的偏差随着指数v的增大而逐渐变小，而且当v取足够大时误差可以取到理想的小。明确地说，两个三角函数中每一个的值介于精确值的两个邻近近似值之间。因此，如果我们令函数值等于这两个近似值之一，所产生的误差一定小