负数的加减乘除什么时候学的？哪国人最早提出负数的概念及负数的加减乘除

清华大学吴国盛教授：中国古代没有几何学传统

【作者简介】

《九章算术》是中国古代最早的一部数学著作，具体作者已经不可考证，从诸多方面看，也许并非出自一人之手，而是经过多人收集整理，并且历代修订而成。现存本大约成书于公元1世纪左右。许多人对该书做过注释，其中刘徽（约生于公元250年）最为著名。刘徽是东汉末年山东邹平人，是古代全世界数学史上杰出数学家之一。需要说明的是，刘徽不是《九章算术》的原作者，但刘徽注释了《九章算术》写成著名的《九章算术注》流传甚广。刘徽是中国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，一生为数学刻苦探求，成就很多。刘徽的工作，不仅对中国古代数学发展产生了深远影响，而且在世界数学史上也确立了崇高的历史地位。鉴于刘徽的巨大贡献，所以不少书上把他称作“中国数学史上的牛顿”。

数学家刘徽和《九章算术》

【内容精要】

《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音崔cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章等：

第一章是“方田”，也就是田亩面积计算；提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式；分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。这要比欧洲早1400多年。

第二章为“粟米”，谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术。

第三章为“衰分”，比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。

第四章为“少广”，已知面积、体积，反求其一边长和径长等，有开平方、开立方的方法，是现代数学高次方程解法的雏形。

第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法。

第六章“均输”，合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。

第七章“盈不足”，提出了盈不足、盈适足、不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。

第八章“方程”，一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度人才认识负数的存在。

第九章“勾股”，利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则a2 b2=c2（意思大家懂，系统不支持平方的编辑）。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪才取得相近的结果，这比《九章算术》晚约了300余年。

《九章算术》古籍

【影响和评价】

《九章算术》是流传到现在中国古代最早的一部数学著作，从《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，这也就是为什么称“九章”的原因。后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。其中最著名的有刘徽。刘徽的注释《九章算术注》一起流传至今。唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上最早的印刷本数学书。在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，现藏于上海图书馆（只余前五卷）。清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书，并作了校勘。作为一部世界科学名著，《九章算术》在隋唐时期即已传入朝鲜、日本。现在，它已被译成日、俄、德、法等多种文字。

《九章算术》确定了中国古代数学学科体系的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的，其影响深远，其后的中国数学著作或为之作注，或仿其体例成书。

《九章算术》中的数学成就是多方面的。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作。“方田”章中系统叙述了约分、通分、比较不同分母分数的大小以及分数的四则运算。通分时使用的是辗转相减法。在几何方面：主要是面积(方田)、体积(商功)计算问题。在代数方面：主要有一次方程组解法、负数概念的引入及其加减法法则、开平方、开立方、一般二次方程解法等。

当然，《九章算术》存在不适合于现代数学的重要缺陷，那就是没有数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。刘徽给《九章算术》作注时针对此定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题。刘徽对数学概念的定义抽象而严谨，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的依据。许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过乘以散之，约以聚之，齐同以通之，都可以归结为今有术求解。