数学里的梯形公式（你也是数学家系列）

我们一起来看看这道题，如下图所示：

已知梯形ABCD的上底AB=a，下底CD=b，腰BC=c，另一条腰AD=d，其中b>a，求该梯形的两条对角线的长度。

解题思路：

既然要求梯形的两条对角线的长度，就要标出对角线，因此作辅助线连接A与C点，连接B点与D点。观察图形和已知条件，可知没有任何一个明确的梯形内角可以利用，但是我们可以先求得一个梯形内角或一个公共角来解题。该方法有两种：

（1）过A点作平行于BC的直线，交CD于E点。如下图所示。

此时，AE=c，DE=b-a，△ADE的三条边长都知道了，则可运用余弦定理求出∠ADE的余弦值cos∠ADE，再据此运用余弦定理求出△ADC中AC的值。另一条对角线BD也可以用同样的方法求出。

（2）延长DA和CB，相交于F点。如下图所示。

此时，△FAB与△FDC是一对相似三角形，故有比例关系：AB/CD=FA/FD=FB/FC。由于FD=FA AD，FC=FB BC，其中AD=d，BC=c，AB=a，CD=b，所以求得FA=ad/（b-a），FB=ac/（b-a）。运用余弦定理可求得△FAC中AC的长度，求得△FBD中BD的长度。

我们从上面这道题的求解结果中得出一条定理——梯形内对角线长定理：如果梯形的上底为a，下底为b，两条腰分别是c和d，那么该梯形中与下底b和腰d共同构成三角形的对角线的长度为

该梯形中与下底b和腰c共同构成三角形的对角线的长度为

我们可以运用这条定理和梯形内分割线长定理（我发布的上一篇头条文章）求解梯形内与两条腰相交的任意斜线段的长度。