母兔子为什么会把小兔子弄出窝(童年噩梦鸡兔同笼)

在十二生肖中,如果论可爱,那么兔兔肯定是能够名列前茅的。


但提到著名的“鸡兔同笼”问题,这份可爱,估计就要大打折扣了。


相信很多人都好奇过,为什么鸡和兔老被放在一起?今天我们就来了解一下。


母兔子为什么会把小兔子弄出窝(童年噩梦鸡兔同笼)(1)

“鸡兔同笼”问题

在其他国家都有变体


其实,“鸡兔同笼”问题不仅仅是中国小朋友终生难忘的数学思维启蒙问题,还是国家对外交流数学文化的代表。


这个问题最早见于我国的古籍,但在很多国家都有变体。


比如俄罗斯的“人狗问题”:一队猎人一队狗,两队并着一队走,数头一共三百六,数腿一共八百九。几个猎人几条狗?


在日本,“鸡兔同笼”问题被改编成为“龟鹤问题”。在其他国家,也都有相对应的版本。


在我国的古代名著《镜花缘》中也有类似“鸡兔同笼”问题的升级版:


众人在小整山观灯时,发现楼上的灯有两种,一种上面3个大球,下缀6个小球,另一种是上面3个大球,下缀18个小球,大灯球共有396个,小灯球共有1440个。


楼下的灯也分两种,一种一个大球,下缀2个小球,另一种一个大球,下缀4个小球,大灯球共有360个,小灯球共有1200个。请你算一算楼上楼下这四种灯各有多少个?

而至于为什么是鸡和兔被关在一起,应该只是数学家一时的脑洞大开,并无什么特定的缘故。毕竟,在我们的民俗文化中也没有这一传统。


母兔子为什么会把小兔子弄出窝(童年噩梦鸡兔同笼)(2)

有1500多年历史的

“鸡兔同笼”问题

首先,大家请听题:


这道著名的“鸡兔同笼”问题,折磨小朋友们可超过1500多年了。


南北朝时期,一部名为《孙子算经》的数学著作横空出世!这个孙子不是写《孙子兵法》的孙子,至于是谁也不清楚了。


母兔子为什么会把小兔子弄出窝(童年噩梦鸡兔同笼)(3)

《孙子算经》| 图源:sohu.com

这本书在后世并不出名,在历史上的学术地位也远远比不上那部早在汉朝就已经成书,收录了246个数学问题的《九章算术》。


就是在这本书里,记录了最早的“鸡兔同笼”问题。


同时,在这本古籍中也给出了解法:


这意思就是:


头的数量=1个鸡头 1个兔头=35个头

脚的数量=2只鸡脚 4只兔脚=94只脚


这样把脚的数量除2(半其足),就得到

一半脚的数量=1只鸡脚 2只兔脚=47只脚


这样头的数量=鸡数 兔数,一半脚的数量=鸡数 2倍兔数


于是用一半脚的数量减去头的数量,正好可以得到兔的数量,是12只,再根据总的头数是35,可以知道鸡的数量是23只。

由于在这个解题过程中,需要把鸡的脚数除以2让它只剩一只脚,因此这个解法还有一个好听的名字,叫“金鸡独立”法。


除了这种传统解法,还有画图法、列表法、假设法、方程法等等方法,研究起来非常有趣。


母兔子为什么会把小兔子弄出窝(童年噩梦鸡兔同笼)(4)

斐波那契中的兔子问题


说了半天我们中国数学里的兔兔,那么外国小朋友的数学作业里有兔兔么?当然,也是有的,兔兔不会放过每一个小朋友。


1202年,意大利数学家斐波那契在他出版的一本书中提出这样一个问题:


假设有一对刚出生的小兔子,一个月能长成大兔子,再过一个月便能生下一对小免子。


按照每对刚出生的小兔子一个月后长成大兔子,每对大兔子每月生一对小兔子的规律进行下去,假设一年内没有兔子死亡,则一年后会有多少对免子?

我们可以先列个表算一下。


母兔子为什么会把小兔子弄出窝(童年噩梦鸡兔同笼)(5)

图源:作者自制

现在我们知道一年后会有233对兔子。如果按照这种规律计算下去,我们就会得到一个神奇的数列:


由于这个数列是数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入的,所以人们把它叫作“斐波那契数列”,也叫“兔子数列”


当然要感谢兔兔惊人的繁殖能力,才能让这个问题有这么一个恰当的例子,否则,还真是不好换其他什么动物呢。只不过,这里要委屈一下澳大利亚人了,澳洲大陆表示,没人比我更懂兔子的繁殖。


仔细观察,我们会发现斐波那契数列很有意思,包含很多规律,比如:


从第三项起,每一项等于前面相邻两项之和;

每个奇数项(第一项除外)的平方都比前后与之相邻的两项之积大1;

每个偶数项的平方都比前后与之相邻的两项之积小1;

第3、6、9、12、…项的数,能被2整除;

第4、8、12、…项的数,能被3整除;

第 5、10、15、…项的数,能被5整除。

斐波那契数列包含的规律还有很多,大家可以自己找找看。比如,对数螺旋线和黄金分割也与斐波那契数列相关。


母兔子为什么会把小兔子弄出窝(童年噩梦鸡兔同笼)(6)

黄金螺旋与斐波那契数列有关,当数列转换成图像,就会得到这个在构图中很常见的弯曲螺旋。| 图源:canva.cn


好了,今天兔兔带大家学习了数学,过完年……接着好好写作业吧。

母兔子为什么会把小兔子弄出窝(童年噩梦鸡兔同笼)(7)

参考文献

[1] 容雷凤, 刘六艺. 鸡兔同笼问题的几种解法[J]. 中国科技纵横, 2011(4):2.

[2] 吴稳银. 鸡兔同笼问题与数学情感体验[J]. 新课程:教研版, 2014(12):137-137.

[3] 佟丽宁. 斐波那契与"兔子数列"[J]. 中学生数理化:七年级数学(人教版), 2015(11):1.

[4] 方海泉, 周铁军, 桑宝祥,等. 对数螺线、黄金分割与斐波那契数列的完美统一的[J]. 数学理论与应用, 2009(4):4.

作者:郭玮宏 高级工程师

题图来源:萨摩耶007

编辑:一人白


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来源:上海科技馆

编辑:扫地僧


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