线心二次曲线的中心在哪（二次曲线的心）

作者 | 刘洋洲

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

已知椭圆的一般方程，其中心坐标如何推导？

通常在课本上为了得到方程更简单的形式，会先通过平移变换来消去一次项，也就是我们所谓的配方（再考虑坐标的旋转变化，就可以将原方程化为标准型）。这样一来确实可以解决问题，只需要进行机械复杂的代数运算就可以了。那么除此之外，还有没有其他更简便的方法呢？

Part2答

寻找椭圆中心的思路可见上图：我们利用一个简单的几何事实——关于椭圆中心对称的切点拥有相同的切线斜率。如果我们找到椭圆两对这样的切点所在直线，两直线的交点即为椭圆的中心。

我使用椭圆一般方程的通常设法：

即椭圆方程系数矩阵

如何求如图中的、、、这四个切点呢？无非就是求关于与的四个极值点。我们从图像得知，隐函数在、 两点是存在的，经过它们的切线水平，即由隐函数求导公式：

于是得到关于的两个极值点、 所在的直线恰恰就是隐函数的分子等于零

分子分母同时为零只可能在椭圆中心，即两直线交点。同理也可得到、所在直线为

或者我们可以利用复合函数求导法则：将视为隐函数。对方程两边同时关于求导，

合并同类项，将导数解出可得到相同的隐函数求导公式。最后联立两直线和的方程：

这个方程组的系数矩阵恰恰是矩阵的前两行。由克莱默法则，方程的解为

即

此为椭圆中心的坐标。我们发现分母恰好是二次曲线的判别式，因为我们已知此二次曲线为椭圆，故判别式

从始至终我们没有将四个切点的具体坐标求出来，但却直接将其所在直线的方程求出，问题得到了极大的简化。

Part3其他情况

我们脱离原问题的束缚，思考一般的二次曲线的情形。

上面的方法其实同样适用于双曲线，因为双曲线也是中心对称图形，同时判别式，所以不必担心上面的坐标公式分母为零。如图，情况和椭圆类似，我们依然可以找水平、竖直方向的切线，过这些切线的两对切点构成的平行四边形的对称中心即为所求。只是在个别情况需要注意：水平或竖直方向的切线可能不存在。

情况最特殊的是抛物线，即 我们知道抛物线并不是中心对称图形，即无心曲线。此时对应的二元一次方程无解。都是有心曲线，为何偏偏时就无心？其实，我也可以用统一的观点看待这一问题：抛物线并不是无心，而是心在无穷远的地方，请参考往期文章：圆锥曲线光学性质的直观证明。

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