数学尖子班一元二次方程练习题（掌握一元二次方程变形记）

一些条件中含有（或可转化为）一元二次方程的题目，往往不是去解这个一元二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．

类型1 把方程ax² bx c=0（a≠0）变形为ax² bx =-c或ax² c=-bx，代换后使之转化关系或整体的消去

1. 已知α是方程x² x-1=0的根，则3x² 3x-1的值为__________.

解:由题设知x² x=1，原式=3（x² 1）-1=3-1=2．

2.阅读下列例题的解题过程，给出问题的解答．

例题：已知x²﹣3x 1=0，求x3﹣2x²﹣2x 50的值．

解：∵x²﹣3x 1=0，∴x²=3x﹣1 ， x3=3 x²﹣x。

∴x3﹣2x²﹣2 x 50=（3x²﹣x）﹣2x²﹣2 x 50=x²﹣3x 50=（3x﹣1）﹣3x 50=49

请参照例题的解题方法，解决以下问题：已知a²﹣4a﹣2=0，求a3﹣3a²﹣6a 30的值．

【解答】∵a²﹣4a﹣2=0，∴a²=4a 2，∴a3=4a² 2a，

∴a3﹣3a²﹣6a 30=（4a² 2a）﹣3a²﹣6a 30=a²﹣4a 30=4a 2﹣4a 30=32．

【方法点拨】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，参照所提供例题的解题方法，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．

类型2. 把方程ax² bx c=0（a≠0）变形为ax²=-bx-c，代换后使降幂或升幂.

类型3. 把方程ax² bx c=0（a≠0）直接作零值代换，使问题化繁为简.

4. 若m、n是方程x² 2006x 7=0的两个根，那么(m² 2005m 6)( n² 2007n 8)的值等于____________.

解:由题设知m² 2006m 7=0，n² 2006n 7=0及m n=-2006,mn=7,

所以，原式=( m² 2006m 7-m-1)( n² 2006n 7 n 1)

=(-m-1)(n 1)

= -(mn n 1)=-(7-2006 1)=1998.

类型4. 把方程ax² bx c=0（a≠0）方程两边同时乘以1/x得变形为ax b/x=-c/x²，平方后整体代入。

【方法点拨】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解决问题的关键是灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方），属于中考常考题型．