向量的加法减法的运算方法（两种教学过程的比较与思考）

卓斌（江苏省宿迁市教育局教研室）

摘要：在“同课异构”活动中，通过同一课题的不同设计和教学实施的比较，得出适合学生的教学方式的基本特征：在创设问题情境中体现学习新知识的必要性，在建构新概念的过程中体现新知识的生长性，在新概念的意义建构环节体现内涵的生成性，在例题教学环节充分展示解题思路的建构性，在回顾反思环节中要突出化隐为显的思想性．

关键词：向量的加法；教学过程的比较；教学过程的思考

同课异构活动已经成为当下最常见、最有效的一种教研活动方式．“同课异构”体现了不同教师对相同教学内容不同的理解与领悟，从而在教学设计、知识呈现以及教学方法等方面展现出不一样的思路与风格，可谓是同中求异，体现个性．笔者有幸参与了两所名校联合举办的同课异构会课活动，观摩了两位教师执教的苏教版教材必修4“向量的加法”一节课．教师甲是一位从教近二十年的优秀男教师，教师乙是一位从教六年的新秀女教师．

一、对“向量的加法”两种教学过程的比较

1.旧知回顾环节

教师甲提出问题：关于向量，我们已经学习了哪些内容？由于前一节课刚刚学习了向量的概念及表示，因此学生很自然第回答：向量的定义，零向量，单位向量，平行向量，相等向量，相反向量等．教师甲设计的问题具有较大的开放度与统摄性，有利于学生自由发挥和相互补充．

教师乙连续提出了八个问题：（1）向量是什么？（2）向量怎么表示？（3）什么是零向量？（4）什么是单位向量？（5）什么是平行向量？（6）什么是共线向量？（7）什么是相等向量？（8）什么是相反向量？采取师生一问一答方式．教师乙的问题具体而且明确，信息反馈短平快．

笔者主张在旧知回顾环节设计开放性较大的问题，引领学生忆一忆与议一议，时间控制在2分钟左右为宜．对于教师甲，笔者认为在学生回答完之后，可以这样引导：向量是既有大小又有方向的量，数学上研究问题往往先从特殊性入手，那么从大小与方向这两方面来看，向量又有哪些特殊性呢？从大小上看，有零向量与单位向量；从方向上看，有平行向量和共线向量；从大小与方向两方面来看，有相等向量与相反向量．学生不仅掌握了数学研究问题的一般方法，而且对于若干子概念的关系层次清晰，内涵清楚．

2.创设情境环节

教师甲创设的问题情境：如图1，由于大陆与台湾没有直航，2006年春节探亲，乘飞机要从上海到香港，再从香港到台北，问飞机的位移是多少？该情境来源于现实生活，同时求作位移的合成过程又具有物理学背景，是向量概念产生的重要源头．

这两个问题较为具体而明确，学生的思维张力略显单薄．

由此可见，课堂小结环节中应该设置开放性与反思性问题，引领学生回溯一节课学习历程，让学生都能够有话可说，并注重提炼学习体会，积累数学活动经验．

二、对教学过程的思考

笔者认为，在观摩“同课异构”的时候，我们更应该关注“异课同构”的探究，即异中求同，探索最能展现教学内容本质特征的教学设计的一般规律，找寻最适合学生学习的教学实施方式．

1.在创设问题情境中体现学习新知识的必要性

问题情境通常包括实例、情境、问题或故事等．不管你采用哪种办法，都要能够激发学生学习新知识的迫切愿望，感受到学习新知识的必要性，起到质疑激趣的功能．例如，“向量的加法”这节课，除了课例中给出的问题情境之外，笔者认为还可以让一名学生到教室前面按照口令走几步，然后其他学生帮助他计算其位移问题，以此激活学生已有的生活经验，从中进行数学化处理，引入学习向量的加法，从而凸显学习新知识的必要性与迫切性．在板书设计方面可以这样进行：位移的结果—合位移—位移相加—向量的加法，从而给出课题．

2.在建构新概念的过程中体现新知识的生长性

温故知新是学习新知识的重要途径．唯有如此，方能找到新知识的生长点或培养基，实现“生长教育”．否则新知识就像水中浮萍，随波逐流，“萍水相逢，尽是他乡之客”，就是“无根教学”，新知识与已有的认知结构就没有办法建立起稳定的、持久的联系．“向量的加法”的“根”应该是“实数加法”，只是所加的对象或元素不同而已．要引导学生理解向量a与b的和，借用符号“ ”表示，这时“ ” 的含义已经发生了变化，不再是简单的数量累加，而是要借助三角形法则或者平行四边形法则来作图计算，让学生认识到“算术的加法”并不是求“和”的唯一合理的运算．

3.在新概念的意义建构环节体现内涵的生成性

意义建构包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等环节，要体现生成性，让学生感悟与体验．同时，意义建构还要让学生充分地参与进来，学生的活动包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、交流、互动等小组活动．“向量的加法”内涵十分丰满，既包括向量加法的定义，又包括三角形法则的操作；既可以采用三角形法则，又能够运用平行四边形法则；既要研究几何作图，又要探索向量模的大小关系；既要建构两个运算律，又要对于向量的加法运算进行推广．这方面教师甲做得非常充分到位，提供了一个良好的范例．

4.在例题教学环节充分展示解题思路的建构性

例题教学是数学应用的重要标志．笔者认为新授课中第一个例题的教学最好贯彻“先展后评”“先学后教”的原则．首先，让学生先动手尝试、探索，尽可能地暴露学生各种可能的想法，然后，师生共同评判甄别，找到解决这一类问题的通性通法以及一些奇思妙解，并对于错误思路进行归因分析，彻底认识错误本源；其次，变式训练，强化解题套路，学会举一反三，归纳解题步骤．例题教学要贯彻好解题思路的建构性，让学生感受到解题过程的合乎情理，自觉地认可与接受．切忌只讲怎么做，不讲为什么，只讲解法，不讲想法．

案例中教师甲设计的例题解决过程如下。