小学数学行程问题50题（小学数学常见行程问题）

行程问题一直是小学阶段的各种数学考试经常考察，也是千变万化、范围广泛的一种应用题题型。在昨天的文章《小学数学中的行程问题如何画图》中，给大家讲解了碰到行程问题时如何画图，这节课我们来详细归纳一下行程问题可以分为哪几种类别。

我们仍然是通过昨天文章中提到的等量关系式，对行程问题归纳为以下六大类：

一、路程和与路程差问题；

二、环形跑道问题；

三、流水行船问题；

四、火车过桥问题；

五、倍比问题；

六、综合行程问题。

下面的章节，小编就围绕行程问题的等量关系式，将这六种常见的行程问题一一进行解释，首先我们来看看路程和与路程差问题。

01路程和与路程差问题

通过画图，观察出线段之间的和与差，并得到路程之间的等量关系。围绕这一等量关系我们可以尝试用行程问题的公式或者设未知数列方程解答。我们五年级数学书上学习的行程问题都属于这个问题的范围。一般来说，我们碰到的相遇问题其实都是求路程和的问题，追及问题都是求路程差的问题。

从时间上我们还可以将这类题目进一步细分为：实际行驶时间相等（简称“相等时间”），与实际行驶时间不等（简称“不相等时间”）。

昨天的文章中我们提到过“路程和”与“路程差”公式的使用对实际行驶的时间有着严格的要求。因此在审题时我们要格外注意类似以下的这些描述：“同时从xx出发”、“甲先行……”、“甲在乙之后x分钟再出发”、“xx途中停了x小时”等一些对于是否相等时间的描述。

例1：甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。甲每小时行30千米，乙每小时行20千米。经过3小时后两车相遇，那么A、B两地相距多少千米？

例2：甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。甲每小时行30千米，乙每小时行20千米。甲因故在途中停留了1小时。经过3小时后两车相遇，那么A、B两地相距多少千米？

例1中，通过下面的示意图我们可以判断出总路程就是两车的路程之和。甲乙两辆车同时出发，同时相遇，中间都是始终不停行驶，所以两车实际行驶时间是相等的。

我们可以直接使用行程问题公式：路程和=速度和×时间。

（30 20）×3=150（千米）

答：A、B两地相距150千米。

例2中，通过下面的示意图我们也可以判断出总路程就是两车的路程之和。虽然两车同时出发，同时相遇，但是甲在中间有停留，所以他们两车实际行驶时间是不相等的，甲车实际行驶时间是2小时，乙车实际行驶时间是3小时。我们不可以直接使用公式。

解法1：先分别算出甲乙两车行驶的路程然后再相加。

30×（3-1） 20×3=120（千米）

答：A、B两地相距120千米。

解2：我们可以将不相等的时间假设成相等的，然后对假设的结果“多退少补”。

假设甲乙都行了3小时利用公式算出路程和：

（30 20）×3=150（千米）

再减去甲多算的：

150-30=120（千米）。

答：A、B两地相距120千米。

练习题1：

龟兔赛跑，赛道全长2000米，乌龟平均每分钟走25米，兔子平均每分钟跑320米。兔子自以为速度比乌龟快的多，所以它在途中美美地睡了一觉，最终乌龟到终点时，兔子离终点还有400米。请问兔子在中途睡了几分钟？

分析：

先认真审题、然后画出示意图。从“兔子距离终点还有400米”这句话可以知道兔子实际走的路程。然后结合各自的速度，就能分别算出兔子和乌龟实际行走的时间，而它们之间的时间差就是兔子途中睡觉的时间。

2000÷25-（2000-400）÷320=80-5=75（分钟）。

答：兔子在途中睡了75分钟。

2、路程和or路程差

一般来说，同学们在公式的选择上往往有一个经验：碰到“相向而行”的行程问题用路程和的公式；碰到“同向而行”的行程问题用路程差的公式。这个口诀虽然适用面较广，但也不是所有的都适合。比如下面这题。

甲乙两个人分别从AB两地同时出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，在离AB两地中点3千米的地方相遇，求AB两地的距离。

先根据题目意思画出示意图。

从示意图中以及题目里“同时出发”、“相向而行”的语句我们很容易联想到用“路程和”的公式，但是按这个思路会发现我们既不知道路程和，也不知道相等时间，所以根本无法运用路程和公式。

再次审题，我们认真理解“离AB两地中点3千米的地方相遇”这句话。

我们可以画运动轨迹图帮助理解。

中点是个特殊的点，“距离中点3千米相遇”我们可以理解为快车行了一半多3千米，慢车行了一半少3千米。也就意味着快车与慢车的路程相差3×2=6（千米）

这样运用路程差公式得到相等时间：

（3×2）÷（6-4）=3（小时）

接下来的问题就很容易了。我们再用一次路程和的公式：

3×（6 4）=30（千米）。

答：A、B两地的距离为30千米。

3、行程问题好帮手——方程

行程问题需要考虑各个方面。譬如说是否可以直接使用公式？用哪个公式？某个条件又该用到哪里？有时如果求速度或时间又要逆用公式。因此小编推荐大家优先使用方程解题。

方程的优点是我们可以将一个不知道但需要用到的条件用未知数x代替，进行列式。这样能让解答过程继续下去，而不会像算式法如果一个条件不知道我们就无法继续解答。因此方程往往是沿着题目的意思正向思考，降低思考的复杂程度。

但是要熟用方程我们有设未知数以及等量关系式这两个难关要攻克。

设未知数

设未知数分为直接设未知数与间接设未知数。到底设谁为x？需要大家积累一定经验。因为小学阶段我们方程只有一个未知数，所以一般的原则是设最需要使用的那个未知条件。

等量关系式

学完方程这一章节，我们都知道，方程是含有未知数的等式。所以我们在题目中要找到“什么等于什么”。一般情况下我们都会以路程之间的关系来作为等量关系式。通过观察示意图，找到路程间的等量关系，以此来列方程。

我们还是以上一道为例。

甲乙两个人分别从AB两地同时出发，相向而行，甲的速度是6千米/小时，乙的速度是4千米/小时，在离AB两地中点3千米的地方相遇，求AB两地的距离。

通过审题我们知道两车的行驶时间是相同的，所以我们可以设“两车经过x小时后相遇。”

再在示意图中寻找相等的路程。利用“在离AB两地中点3千米的地方相遇”得到等量关系式：甲的路程-3千米=乙的路程 3千米。

解：设两车经过x小时后相遇

6x-3=4x 3

6x-4x=3 3

2x=6

x=3

3×（6 4）=30（千米）

答：A、B两地的距离为30千米。

孰能生巧

我们再来看一道比较适合用方程的例题来感受一下方程的优势。

甲、乙两辆车同时从A地出发到B地，甲车速度为60千米/小时，乙车速度为48千米/小时，有一辆迎面开来的卡车分别在甲乙两车出发后的5小时、6小时、与甲、乙两辆车相遇，求卡车的速度。

先认真审题，然后画出示意图。

从条件来看，此题既没有A、B两地的总路程，又没有卡车的速度。同学们都没有办法使用公式。

该怎么办呢？？

我们假设甲乙出发的时刻，卡车必定在A、B两地中的某个位置C，把这个位置到A地的距离当做总路程，那就相当于甲、乙以及卡车这三辆车是同时出发的。

我们画出这三辆车的运动轨迹图后可以发现：

甲与卡车的路程和=乙与卡车的路程和。

而其中比较重要的量卡车的速度也是未知的。

因此我们可以设卡车的速度是x千米/小时。

解：设卡车每小时行x千米

5（60 x）=6（48 x）

300 5x=288 6x

x=12

答：卡车的速度是12千米每时。

再接再厉

我们再挑战一下升级以后的题目~~

甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地，甲、乙两车的速度分别为60千米/小时、48千米/小时，有一辆迎面开来的卡车分别在三车出发后的5小时、6小时、8小时与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度。

分析：

审题后，运动的物体变成为4个了，很多同学一看到题目就吓晕了。但是有了上题的经验，通过甲、乙的速度与甲、乙与卡车的相遇时间就可以得到卡车的速度、甲与卡车的路程和，我们再利用“丙与卡车的路程和=甲与卡车的路程和”计算出丙车的速度。

4、往返运动问题

行程问题里还有一类往返运动问题，运动过程会出现运动物体折返的情况。这时就更需要用物体的运动轨迹图来更清楚的表现出物体的运动过程。

小胖和他哥哥同时从家出发去离家2000米的学校，小胖哥哥骑车的速度是180米/分钟，小胖步行的速度是60米/分钟。两人一起出发3分钟后哥哥发现忘记带作业，马上回家去取。哥哥再次从家出发后几分钟追上小胖？

先审题，再画示意图

分析：

由于小胖和哥哥是同时出发的，且又同时相遇，所以他们整个过程的时间是一致的。而在这个过程中哥哥比弟弟多行了3分钟路程的一个来回。我们可以以此作为等量关系式：

哥哥的路程—180×3×2=弟弟的路程

解1：设从哥哥第一次出发到最后相遇经过了x分钟。（这里同学们要格外注意到问题中的“再次”，说明问题所需的时间并不是我们设句中的x分钟。）

180x-180×3×2=60x

120x=1080

x=9

9-3×2=6（分钟）

答：哥哥再次从家出发后3分钟与小胖相遇。

解2：同学们可以把此题转化为追及问题。

以哥哥再次出发的时刻作为起始时间，找到这个时刻小胖所在的位置。

60×3×2=360（米）

以此作为两人的路程差

360÷（180-60）=3（分钟）

答：哥哥再次从家出发后3分钟与小胖相遇。

最后我们来小结一下路程和与路程差这一章节的主要内容

1、判断物体的运动时间是否相等，决定能否直接使用公式。

2、相遇还是追及问题并不能决定用哪个公式，还是要根据示意图中实际运用情况。

3、方程法一般用路程间的等量关系来列方程。

4、对于复杂过程我们可以请运动轨迹图帮忙。

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