数学有理数概念讲解（学数学可以很有趣）

如果把数学放在历史的故事与现实的应用场景中，你会发现，数学不再是一个枯燥的工具，而是比唐诗宋词还要美、还要有力的符号语言。

本知识适合六年级下的学生，可以当做学习如下课程前后的知识拓展材料：

上海教育出版社数学六年级 第二学期 第五章《有理数》

史海沉沙

有理数由来（Rational Number）

公元前540年，古希腊毕达哥拉斯学派提出“万物皆数”的观点。这里的数是指整数之比，即有理数。该学派认为数与几何、数与音乐、数与天体、数与世界万物有着极为密切的关系，整个五彩缤纷的世界处于数 的和谐之中，数是万物之本。这一观点在当时一直统治着人们的思想，对后世有着较大的影响。

有理数包括整数和分数，某些非最简分数可以化简成整数，所以，有理数也可以说与分数的范畴是一致的，及回归到它的最初含义，有理数就是整数比，或者说分子分母都为整数的分数。

有理数的开创者-毕达哥拉斯Pythagoras，希腊，约公元前580年—约前500（490）年

再伟大的发现也会有局限性，比如：当时对“数”研究得最透彻的伟大的数学家——毕达哥拉斯认为：世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了。

毕氏在当时条件下认为“万物皆数”，并用数去演练了宇宙万物许许多多现象，得出”……只…..，没有……”绝对化的结论。而人类的科学史说明，任何事物都不是绝对的，只是相对的，真理也不是。毕氏整数与分数的发现并没有揭示出所有的数，历史在等待着天才数学家去突破。

打破有理数的界限——无理数

在古代，或许是杰出的人物做出的贡献太伟大，结果会有相当一部分忠实的信徒把这种成就或理论当作不变的信仰，而这些信徒们往往也占据了很强大的资源并形成了庞大的势力，于是对数学等科学的新突破、新发现采取打压的保守策略，以维护自身团体在知识与智慧方面的“先进性”。无理数的产生也不无意外地导致了发现新知识的天才被“信仰”旧知识的传统保守势力的残酷迫害。

不久就出现一个问题：当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少？是整数呢，还是分数？毕达哥拉斯和他的门徒相信这个数仍然是整数或分数，但他们费了九牛二虎之力，仍然不知道哪个分数是m，只得作罢。学派成员希伯斯起初也以旧思维去推演了很多年没有取得成功，但他没有因为失败而气馁，反而兴趣更加浓厚：“世界上除了整数和分数以外，还有没有别的数？”希伯斯突破了老师的思维限制，于是他花费了很长的时间去钻研，最终得出结论：“m这个数，既不是整数也不是分数，是我们还没有认识的新数。”

希伯斯的发现推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了学派元老们的恐慌。为了维护学派的威信，毕氏学派严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑——活埋。然而真理是封锁不住的，尽管毕达哥拉斯学派规矩森严，希伯斯的发现还是被许多人知道了。他们追查泄密的人，追查的结果，发现泄密的不是别人，正是希伯斯本人！这还了得！希伯斯竟背叛老师，背叛自己的学派。毕达哥拉斯学派按着规矩，要活埋希伯斯。希伯斯听到风声逃跑了。

希伯斯在国外流浪了好几年，由于思念家乡，他偷偷地返回希腊。在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海。

希伯斯虽然被害死了,但是他发现的“新数”却还存在着。后来，人们从他的发现“无理数”的手稿中知道了除了整数和分数之外，世界上还存在着一种“新数”。正方形的对角线和边长的比是这种新数、给这种新数起个什么名字呢?当时人们觉得，整数和分数是人们已经习惯的，容易理解，就把整数和分数合称“有理数”，而把希伯斯发现的新数起名叫“无理数”。

直角三角形研究中，提出无理数雏形的毕达哥拉斯门徒，希伯斯，Hippasus，约公元前500年

新知识就在身边

还有没有别的无理数你竟然还认识？有的，那就是我们已经学过的圆周率π，π也是一个很著名的无理数。

有理数的特性

1） 要么是有限数，是整数，没有小数点；要么是小数，小数点后的数字个数可以数得清的；

例如，

0,1,5,9,17,102,3.5,7.543,9.5945,42.39143， ……

2） 要么是无限小数，但是小数部分是某些数字按一定顺序排列的、有规律的循环，并且一直延续下去。

……

知识拓展，头脑中的问号？

明白了分数（或除法）产生了小数，有的还除不尽得到无限小数，究竟什么分数（或除法）会产生有限数（整数和有限小数）？哪些分数（或除法）产生无限循环小数。

要回答这个问题，涉及两个概念，一个是十进制概念，第二个是最简分数概念。

先讲最简分数概念，即分数的化简：

比如，

24÷6=4÷1=8÷2=12÷3=16÷4=20÷5=100÷25=2000÷500…

本质上，这个分数的分子与分母分别同时扩大2倍，比值不变。同样，在这个分数的基础上，分子与分母分别同时扩大3、4、5、20、25倍得到了其它分数而已。所谓比值不变，就像一栋房子有固定的长度20m、宽度8 m和高度6 m，你在纸上把这个房子画成一幅画，如果你画得比较像，比如你把房子的长度画成了200mm, 高度应该很接近60mm,宽度也应该很接近80mm，由于视觉的关系你很可能把宽度画成了斜线，与长度的夹角不是90°而是45°（斜二测画法）。也就是说：

以mm为单位，画的长宽高比率，200：80：60=10：4：3

实际房子的比率，20000：8000：6000=10：4：3

也就是，按某个倍数分别放大或者缩小一个分数的分子和分母，分数数值不变；同样按某个倍数分别放大或者缩小一个除式的被除数和除数，除法的值不变；同样，按某个倍数分别放大或者缩小一个比数的前项和后项，比数的比值不变。

再讲十进制对分数转化成有限小数还是无限小数有怎么影响？

先说一个结论：如果一个最简分数，其分母不只是10以及10的因数2、5形成的积，这个分数转化成的小数就是无限循环小数；反之，只有分母是只有因数2、5形成的积，这个分数才是有限小数。

先看有限小数例如，

分母只由5组成的分数：

分母更大的数可以自行验证，结果是得到的小数的位数可能更多而已。

分母只由2组成的分数：

分母更大的数可以自行验证，结果是得到的小数的位数可能更多而已。

分母只由2和5组成的分数：

比如，

这些分数，相当于只由因数2或5形成的分母再除以10、100……

以上就是得到有限小数所有分数的类别，其它的分数都只能转化成无限小数。

为了证明这一点，从分母不是2、5形成最小的整数作分母开始算起，

……

有点吃惊这么多数都是无限小数？无限循环小数比有限小数多多了，而我们日常见到的无限小数为什么不太多？因为人们记不住无限小数且处理起来也太麻烦，大多数情况下，我们不把分数转化成无限小数，实际使用时分数还更方便。

知识点往哪个方向去：无理数的特性

无理数也是无限小数，它是无限不循环小数，如

圆周率π=3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067982148 08651 3282...

自然对数e = 2.718281828459...

,