三角数学解题方法(比较新奇有趣的三角问题解题方法)

三角数学解题方法(比较新奇有趣的三角问题解题方法)(1)

对待三角问题,常规思路是运用三角知识及公式解析。但也有其他解题方法。

一. 平几法

发挥平面图形的功能,以平面图形为载体,挖掘三角背景下的问题实质,使三角问题在平面图形的直观导引下得到解决。

例1. 已知△ABC的三个内角适合sin2A=sinB(sinB sinC),求证:∠A=2∠B。

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证明:如图1,联想平几知识中的切割线定理求解。延长CA到D,使AD=AB=c,

则CD=b c。

由于sin2A=sinB(sinB sinC),

所以a2=b(b c),

即BC2=AC·CD,

所以BC切过A、B、D的圆于点B,

所以∠ABC=∠ADB。

因为AB=AD,

所以∠ABD=∠ADB,

所以∠CAB=∠ABD ∠ADB=2∠ABC,得证。

二. 对称法

利用互余三角函数间的特殊关系,以问题结构特征为出发点,通过构造“相似”结构式子,建立对称关系,开避解题坦途。

例2. 求cos210° cos250°-sin40°sin80°的值。

解:设x=cos210° cos250°-sin40°sin80°,

y=sin210° sin250°-cos40°cos80°,

则x y=2-cos40°;

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联立解得

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,即为所求结果。

三. 线圆法

直线与圆是数学中的平常而重要的几何图形。从抽象的数学式子里提炼出线圆关系,使问题及字母讨论在直观的几何显示下不解自知。

例3. 设方程sin2x-sin2x=2cos2x m有实数解,试求m的取值范围。

解:原方程变形为:

3cos2x-2sin2x 2m 1=0。

观察知:点(cos2x,sin2x)在直线3x-2y 2m 1=0上,而点又在单位圆x2 y2=1上,所以这个点是直线与圆的交点。原方程有实数解,就是直线与圆有交点,所以根据圆心到直线的距离不大于半径关系得:

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整理得m2 m-3≤0,

解得

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四. 轨迹法

一图值千言。依题意构点挖掘点的轨迹,发挥“区域”优势,使隐藏的“关节”得以显现,利用解析几何辅助问题获解。

例4. 设a、b>0,且变量θ满足不等式组

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,求sinθ的最大值。

解设x=cosθ,y=sinθ,则不等式组等价于

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原不等式呈现出鲜明的几何意义:动点(x,y)的运动区域是单位圆与二直线所围成的阴影区域。由此得sinθ的最大值就是阴影区域中的最高点的纵坐标,即(sinθ)max=yM=

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五. 曲线法

有些三角问题,抓住结构特征,依托曲线方程,巧妙地建构圆锥曲线模型,使问题在曲线性质的帮助下简捷求解。

例5. 若α、β为锐角,且

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,求证α β=

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解:构造A(cos2α,sin2α),B(sin2β,cos2β)两点,则A、B两点均在椭圆

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上。根据圆锥曲线的切线知识知,经过点B的切线方程为x y=1。显然点A的坐标适合切线方程,所以点A也是切点,从而知A、B两点为同一点。

即:cos2α=sin2β,sin2α=cos2β,

所以cosα=sinβ=cos(

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)。

由题设条件α、β为锐角,不难得α β=。

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