初二数学平行四边形总结图（平行四边形中方程）

在平行四边形这一章节中，除了几何思想外，还可以与代数思想相结合在，真正做到数形结合。平行四边形中方程思想、转化思想与构造思想很重要，需要做到活学活用。

方程思想

在几何图形中，有些题目需要设未知数找等量关系比直接解题要方便简单，常见的为已知四边形的面积、周长、线段的和差关系等。

例题1：如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，A＝5，四边形ABCD的周长为36，求AB，BC的长．

分析：已知平行四边形的周长，利用公式可知邻边之和为周长的一半，根据平行四边形的面积不变（即等积法）可得到邻边之间的倍数关系，通过设两个未知数，得到关于邻边的方程组，求出方程组的解即可。

解：在ABCD中，CD＝AB.

∵ABCD的面积＝BC·AE＝CD·AF，

AE＝4，AF＝5，

∴4BC＝5CD，即BC：CD=5：4

设BC=5x，CD=4x，

又2(AB＋BC)＝36，

∴AB＋BC＝18，即BC＋CD＝18，

∴5x 4x=18，解得：x=2

∴BC=5x=10，CD=4x=8，

即AB＝8，BC＝10.

巩固练习：已知平行四边形ABCD的周长为28，对角线AC，BD相交于一点O，且△AOB的周长比△BOC的周长大4，求AB，BC的长．

转化思想

平行四边形的一条对角线可将平行四边形分割成两个全等的三角形，两条对角线可将平行四边形分割成四个三角形，相对的两个三角形全等，四个三角形的面积相等，都等于整个平行四边形面积的四分之一。解决四边形的长度、面积问题时有些时候需要转化为三角形问题，有时也需要用四边形的中心对称性进行转化。

例题2：如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线交AD于点E，交BC于点F，若ABCD的面积为30 cm2，求图中阴影部分的面积．

分析：求阴影部分的面积，阴影部分由三个三角形组成，如果一个一个求三角形的面积，比较繁琐，如果用平行四边形的中心对称性进行转化就可以轻松解决了。可以证明△BOF与△DOE全等，根据全等三角形的面积相等，可将△BOC的面积转化为△DOE的面积，那么阴影部分的面积即为△ACD的面积，而△ACD的面积又等于平行四边形ABCD 面积的一半。

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝CB，DC＝BA.

∵AC＝CA，

∴△ABC≌△CDA.

∴S△ABC＝S△CDA＝SABCD÷2＝15(cm2)．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD＝OB，AD∥BC.

∴∠OED＝∠OFB，∠EDO＝∠FBO.

∴△DOE≌△BOF，

∴S△DOE＝S△BOF.

∴S阴影部分＝S△BOF＋S△AOE＋S△COD ＝S△DOE＋S△AOE＋S△COD＝S△CDA＝15 cm2.

巩固练习：如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O与AB交于点E，与CD交于点F，GH过点O与AD交于点G，与CB交于点H。求证：GF＝EH.

构造法

构造法是根据题设条件或结论具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助该数学模型来解决原数学问题的解题方法．对于某些问题，常采用构造平行四边形的方法，从而利用平行四边形的性质使问题变得简单。

分析：本题可以利用倍长中线法来解题。延长AD至N，使DN=AD，连接BN，可证明△BDN≌△CDA（SAS），则BN=AC，∠CAD=∠N，根据AE=EF，得∠CAD=∠AFE，可证出∠N=∠BFG，即得出AC=BF，也可构造平行四边形来解决。

证明：如图，延长AD至N，使DN＝AD，连结BN，CN，则四边形ABNC是平行四边形．

∴BN＝AC，BN∥AC，

∴∠BNA＝∠NAC.

∵AE＝FE，

∴∠FAE＝∠AFE.

∵∠AFE＝∠BFN，

∴∠BFN＝∠BNF.

∴BN＝BF，

∴BF＝AC.

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