中考数学重点线段和差最值问题（矩形中的线段比值探究）

矩形中的线段比值探究——2019年浙江绍兴中考数学第24题

若一条线段两端点在矩形的对边上，则这条线段的长度和位置会发生什么变化？这个问题抛出来，绝大多数学生都能很快回答出来，这么简单的运动，谁都能看懂。好，那在另一对边上再来这么一条线段，问题就不是简单的1 1=2了，这两条线段的长度变化，夹角变化，虽然局限在矩形内部，但也够大脑高速运转一阵了。

题目

如图，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在BC，AD上，MN，EF交于点P，记k=MN:EF.

(1)若a:b的值是1，当MN⊥EF时，求k的值；

(2)若a:b的值是1/2，求k的最大值和最小值；

(3)若k的值是3，当点N是矩形的顶点，∠MPE=60°，MP=EF=3PE，求a:b的值.

解析：

(1)当a:b=1时，意味着矩形ABCD变成了正方形，再加上MN⊥EF，这便成了课本上的典型图例，如下图：

而解决这道题的方法，最简单的莫不过平移和作垂线，将MN和EF平移至正方形顶点处，或过线段某端点作边的垂线均可，如下图：

构造出全等三角形之后，可求出k=1；

(2)当a:b=1/2时，MN最长时为矩形对角线，最短时为BC边长，EF最长时为矩形对角线，最短时为AB边长，因此相对容易求出比值k的最大值和最小值。

k是线段比值，是一个分数，根据分数大小的比较方法，分母越大，分数越小，分子越大，分数越大，这在小学阶段就已经有认识。所以k最大时，MN最大而EF最小，k最小时，MN最小而EF最大，这样比值的问题就转化成线段最值的问题了。

所以k最大=√5，k最小=2√5/5；

(3)现在固定k的值为3，且N为矩形顶点，由于点N在线段CD上，因此有两种可能，N与D重合或N与C重合，那个60°角，很显然是用于构造特殊直角三角形求边长之用。

①若点N与点D重合，先进行作图探究，如下图：

我们设PE=m，则MP=EF=3m，因为k=3，所以MN=9m，再分别表示出NP=6m，PF=2m，观察△PEM和△PFN，发现它们两对边之比PE:PF=1:2，PM:PN=1:2，加上对顶角相等，所以△PEM∽△PFN，于是可证明ME∥NF，即M应该与B重合，显然上图画得不规范，修改如下：

作FG⊥MN，首先在构造出来的Rt△PFG中，∠FPG=60°，于是PG=m，FG=√3m，再求出NG=5m，在Rt△FGN中由勾股定理求出DF=2√7m，根据△NFG∽△NMA，我们可分别表示出AD和AM，分别为45√7/14和9√21/14，于是a:b=√3:5；

②若点N与点C重合，采用同样的方法构造特殊直角三角形，如下图：

首先仍然在Rt△PEH中，求出PH=m/2，EH=√3m/2，于是可得HN=13m/2，此时仍然还有一对相似三角形，△NEH∽△NMB，在Rt△NEH中，由勾股定理求得EN=√43m，再分别求出BC=117/2√43m和BM=9√3/2√43m，只剩下CD未求了，此时，千万要想起前面曾经找到过的相似三角形，连接EM和CF，△EMB∽△FDC，如下图：

由△MPE∽△NPF，可得EM∥CF，在这个条件下，可以证明△EMB∽△FDC，且它们的相似比仍然是1:2，现在可以很轻松地求出CD=9√3/√43，于是a:b=2√3:13；

综上所述，a:b=√3:5或2√3:13.

解题反思

第一小题源自课本例题，学生们非常熟悉的图例，方法选择多样，顺便可怜一下阅卷的老师们。第二小题只要过了阅读理解关，将线段比值的最值讨论结合分数大小的判断，迎刃而解。在最后一小题中，点N需要分情况讨论，而准确作图是解出此题的关键，毕竟在考场上，可没有几何画板可供使用，解题中的草图一旦验证，最好能作出规范的图形，特别是在讨论点的重合性问题时，通常是假定不重合，在图上进行涂画，一旦验证重合，请重新作图。

相似三角形的应用在最后一小题中是重点，多种相似，选择合适的线段列比例式，一般会设其中一段为参数，而求比值，最终这个参数会被消掉，对计算基本功有较高要求。因此在平时的中考复习课堂上，适当让学生熟悉这些数字结果，否则学生计算完后会相当不自信。

爱数学做数学