二次函数基本问题解题技巧（二次函数问题的解题攻略）

二次函数作为一项基础性的教学内容，在初中数学以及中招考试中所占的地位十分特殊，同时也是考查学生初中数学综合应用能力的重要题目类型之一。

从近年来中招考试的考查内容来看，二次函数与一次函数、反比例函数等函数以及圆、三角形等图形方面知识点综合出题的情况十分常见，并且这类题目解题的重要突破口往往就在于二次函数。

因此，对于初中数学教学和学习来说，充分掌握二次函数相关题目的解题策略是十分重要且有意义的。而从目前初中二次函数相关题目的解题效果来看，无论是单纯地考查二次函数还是综合性的题目，对于二次函数中变量的界定与分析以及一些隐性解题信息的挖掘等方面尚存在不足之处，而这些问题所暴露的是二次函数解题策略方面的欠缺，基于此，有必要围绕初中二次函数相关题目的解题策略进行深入地研究和分析，明确常见的解题技巧。

一、注重代数推理法的基础性作用

所谓的代数推理法就是借助二次函数的解析式y=ax² bx e和相关的坐标信息来进行未知量的确定，最终获得具体的二次函数解析式。该方法适用于与抛物线相关的题目的解答。

而在代数推理法的应用过程中，关键是要通过三个相对独立的条件来确定关于a、b、c这三个变量的具体信息。并且二次函数除了具有上述的标准解析式以外，还有顶点式、零点式等多种表达形式，可以根据题目中的具体信息来确定相应的解析式来提升解题的效率。

例1．（2020•沈河区一模）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax² bx c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度可能为（　　）

A．18° B．37° C．54° D．58°

【解析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．由图象可得，该函数的对称轴x＞（18 54）/2且x＜54，∴36＜x＜54，故选：B．

通过上述对于代数推理法在解答二次函数题目中的应用的分析可以发现，该方法是解答二次函数基本题目的有效方法，而只有充分深入地掌握了二次函数各种解析式的特点和使用注意事项后，才能够更好地结合题目的信息和特点来快速、准确地获得答案。因此，在学习二次函数的解析式时，要对每种解析式所对应的关键点进行准确地把握和学习，同时在平时的练习过程中要通过各种已知条件的变化来提升自己综合解题的效果。

二、充分挖掘数形结合题目中的关键信息

所谓的数形结合法就是将数字与图形进行有效地结合，借助简单的图形将抽象的问题具体化，从而实现良好的解题效果。众所周知，二次函数是与抛物线相对应的知识点，而抛物线几何图形的形式使得对于一些涉及到抛物线的二次函数题目可以借助数形结合的方法来很好地加以解决。

在平时的二次函数训练以及考试过程中，所涉及的关于数形结合法的内容主要为抛物线所具有的一些诸如最值、单调性、延伸性、凹凸性等方面的特殊性质。而这些性质背后往往蕴藏着重要的解题信息，一旦获得这些信息，可以帮助我们很快地解决这些问题。

例2．（2020•昆明一模）如图，抛物线y＝ax2 bx过点P（﹣1，5），A（4，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第一象限内的物线上有一点B，当PA⊥PB时，求点B的坐标．

【解析】（1）把点P（﹣1，5），A（4，0）分别代入y＝ax2 bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式为y＝x²﹣4x；

（2）过P点作PD⊥x轴于D，BE⊥PD于E，由P（﹣1，5），A（4，0）得出PD＝AD＝5，从而得出∠APD＝45°，然后根据PA⊥PB得出△PBE是等腰直角三角形，设B（x，x2﹣4x），即可得到x 1＝x²﹣4x﹣5，解得即可．∴B（6，12）．

例3．（2020•合肥一模）某超市销售一种高档蔬菜"莼菜"，其进价为16元/kg．经市场调查发现：该商品的日销售量y（kg）是售价x（元/kg）的一次函数，其售价、日销售量对应值如表：

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）x为多少时，当天的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？

（3）由于产量日渐减少，该商品进价提高了a元/kg（a＞0），物价部门规定该商品售价不得超过36元/kg，该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若日销售最大利润是864元，求a的值．

【解析】（1）依题意设y＝kx b，用待定系数法即可得到为y＝﹣2x 120；

（2）根据当天的销售利润等于销售量乘以每千克的利润列出w关于x的函数关系式，再配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案；

w＝（﹣2x 120）×（x﹣16）

＝﹣2x² 152x﹣1920

＝﹣2（x﹣38）² 968，

∴当售价是38元/件时，日销售利润最大，最大利润是968元；

（3）根据题意得，w＝（﹣2x 120）×（x﹣16﹣a），求出二次函数的对称轴，利用二次函数的性质可得关于a的方程，解出a即可．

又∵﹣2＜0，售价不得超过36元/kg，

∴当x≤36时，w随x的增大而增大，

∴当x＝36时，w有最大值864元，

∴﹣2×362 （152 2a）×36﹣1920﹣120a＝864，

∴解得：a＝2，∴a的值为2．

总结通过对该题解题过程和步骤的分析可以发现，学生在解答数形结合方面的二次函数题目时，要善于从图形的特殊性方面着手，来挖掘有效解决二次函数变量的信息。通过对二次函数数量关系的破解反过来求解关于图形的相关问题。这也充分说明了在平时的二次函数学习过程中，要注重从数量与图形之间的内在联系出发来寻求有效的解决综合问题的能力。

三、借助转换法调整解题思路

所谓的转换法主要是在一些应用型题目的解答过程中使用，即通过将实际性的问题转换为较常见的二次函数或者抛物线题目，进而借助相应的方法来解决。转换法的使用主要依靠学生思维的灵活性，即能够根据题目中的文字信息提取到相应的二次函数关键信息，从而通过解决二次函数问题的方式来获得相应题目的答案。在历年中考试题中，经常出现关于转换法在二次函数综合类题目解题中的运用。

例4．（2020•长春一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²﹣4ax 3a（a是常数，且a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连结AC，将线段AC绕点A顺时针旋转90°，得到线段AD，连结BD．当BD最短时，a的值为_____．

【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点、全等三角形的判定与性质及勾股定理的应用，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．

过点D作DE⊥x轴于点E，令y＝0得关于x的方程，解得x的值，则可知点A、点B的坐标及OA、OB的长，再证明△ACO≌△DAE（AAS），从而可用含a的式子表示出DE和BE的长，

例5．（2020•宁波模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为2，∠AOC＝60°，点D为AB边上的一点，经过O，A，D三点的抛物线与x轴的正半轴交于点E，连结AE交BC于点F，当DF⊥AB时，CE的长为______．

本题考查菱形与二次函数的综合应用；熟练掌握菱形的性质，能够通过菱形的性质结合抛物线的对称性确定点的坐标，再由平行线分线段成比例的性质建立等量关系求解是解题的关键．

通过上面的例题可以看出，在初中二次函数相关题目的解答过程中，可以借助空间转换方法将一些复杂的应用问题简化为相应的二次函数图形分析题，进而借助数量关系来求得问题的解。

四、结束语

二次函数作为初中数学教学中的重要内容，是整个数学学科的基础性知识，在高中会进行更加深入地学习和探讨，并且与生活的联系也比较紧密。因此，在初中二次函数学习过程中，一定要充分掌握其基本的特点和解题策略，奠定相应的数学学习思维基础。在对二次函数相关题目进行解答过程中，要明确其所对应的代数性质和几何性质，能够善于借助相关的解题原理来进行综合、灵活的题目分析与解答。

当然，二次函数在考试中的体现通常是一些综合性的题目。在进行题目分析的过程中，不仅要紧抓表面上的一些直接性的信息，同时要深入挖掘一些条件背后所蕴藏的更深层次的、对于解题有效的信息，从而提升题目解答的效率和效果。

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