数学必修一基本不等式性质（等式与不等式的性质）

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【考试要求】梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.

【知识梳理】

1.两个实数比较大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

2.等式的性质

(1)对称性：若a＝b，则b＝a.

(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.

(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.

(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.

3.不等式的性质

(1)对称性：a＞b⇔b＜a；

(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).

【微点提醒】

1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.

2.有关分数的性质

【规律方法】

1.作差法一般步骤：

(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.

2.作商法一般步骤：

(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.

3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.

4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.

【规律方法】

解决此类题目常用的三种方法：

(1)直接利用不等式的性质逐个验证；

(2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件；

(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断.

【规律方法】

1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型.

2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

【反思与感悟】

1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.

2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.

【易错防范】

1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.

2.形如例3－2探究2题型的解决途径：先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围.

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