最短路径问题7种类型 化折为直思想解决最短路径问题

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河． ”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图1所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．【摘自百度百科】

要解决上面的问题就需要用到化折为直的思想，本文利用这个思想解决勾股定理中的最短路径问题。

• 知识储备

1、基本原理：两点之间，线段最短。

2、基本模型图：

• 方法总结

1、化曲（折）为直

①平面内：将军饮马模型直接应用（上面的图）

②立体图形：展开为平面图形进行求解

⭐长方体背景——分类讨论

⭐圆柱体背景

2、平移法

【例题分析】

例1、长方体的长、宽、高分别为3cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从A点爬到B点．则蚂蚁爬行的最短路径的长是　　 ．

分析：将长方体展开进行分类讨论

例2、我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？

【分析】

例3、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm,地面周长为18cm,在杯内离杯底的点4cm处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜜蜂相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______________

分析：

勾股定理是后面几何学习的基础，上面的解题思路大家可以在练习题中反复实践，有问题可留言哦。